Folgen

26.10.2009, 23:49

Sonic22

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Folgen

Hallo!

Ich habe hier folgende Aufgabe (bzw mehrere aber ich beginne mal mit dieser):

$\begin{eqnarray*} 1\frac{-1}{n} \end{eqnarray*}$

Ich soll Konvergenz, Monotonie und Beschränktheit nachweisen.

Fangen wir mal mit der Kovergenz an: Wie muss ich vorgehen, ich bin da nicht so firm drin...habe eine gewisse Abneigung gegen Folgen...weil ich das ganze nie so richtig kapiert habe.

27.10.2009, 00:10

MLRS

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RE: Folgen

Zitat:

Original von Sonic22
$\begin{eqnarray*} 1\frac{-1}{n} \end{eqnarray*}$

Ich soll Konvergenz, Monotonie und Beschränktheit nachweisen.

Meinst du

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ?

Falls ja, das ist keine Folge...

schreib zumindest: $\begin{eqnarray*} a_n=1-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Wann ist eine Folge

konvergent?
monoton?
beschränkt?

27.10.2009, 00:22

Sonic22

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@MLRS
ja genau so meinte ich das, sorry.

Also, eine Folge ist konvergent wenn sie einen Grenzwert besitzt.

27.10.2009, 15:37

MLRS

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Zitat:

Original von Sonic22
Also, eine Folge ist konvergent wenn sie einen Grenzwert besitzt.

...und wann hat eine Folge einen Grenzwert?

Wann eine Folge monoton, beschränkt, konvergent ist sollte man wissen

Ich würde die Aufgabe auch in dieser Reihenfolge angehen, also:

monoton ? (warum?)

beschränkt ? (obere/untere Schranke angeben und zeigen, dass diese nie unter/überschritten werden)

konvergent ? -> Eine Folge ist konvergent, wenn sie monoton und beschränkt ist. Erscheint ja auch irgendwie logisch...wenn sie zB. monoton steigt und nie einen Wert überschreitet muss sie irgendwo einen Grenzwert haben

Schau dir mal die ersten Werte deiner Folge an und versuche Aussagen bezgl. oben gennantem zu treffen und zu beweisen

27.10.2009, 19:57

Sonic22

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Also für n=1 erhalte ich den Wert 0. Je größer n wird, desto größer wird an. Die Folge nähert sich dem Wert 1 für n gegen unendlich immer mehr an.

So jetzt kuck ich mal nach der Monotonie...

27.10.2009, 20:09

Sonic22

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Also die Folge ist streng monoton wachsend, da an größer wird wenn n ansteigt.

Wie kann ich das mathematisch korrekt formulieren bzw. zeigen?

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27.10.2009, 20:15

MLRS

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ein mathematischer korrekter Beweis der Monotonie:

Zeige, dass $\begin{eqnarray*} a_{n+1}>a_n \end{eqnarray*}$ für alle natürlichen Zahlen gilt.

(wenn du nachweisen willst, dass eine Folge monoton fällt musst du einfach das Ungleichheitszeichen umdrehen)

Das solltest du schaffen (einfach die Definition deiner Folge einsetzen und umformen)

Dann ist die Monotonie gezeigt.

zur Beschränkheit hast du ja bereits gesagt:

Zitat:

Also für n=1 erhalte ich den Wert 0. Je größer n wird, desto größer wird an. Die Folge nähert sich dem Wert 1 für n gegen unendlich immer mehr an.

du musst als obere Schranke nicht die kleinstmögliche angeben...
es reicht, wenn die Folge zB. den Wert $\begin{eqnarray*} 2009 \end{eqnarray*}$ nie übersteigt - es geht nur darum, ob es einen Wert gibt , der nie überschritten wird.

27.10.2009, 20:26

Sonic22

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Wie gesagt Folgen sind nicht gerade mein Steckenpferd...

also:

an+1> an (gilt für monoton wachsend?)

Was ist jetzt die Definition der Folge (in der Aufgabenstllung war sont nichts enthalten)?

Wenn ich jetzt mal umstelle: habe ich ja

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{n}+1 \end{eqnarray*}$ > $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

wie forme ich das nun um?

27.10.2009, 20:31

MLRS

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Zitat:

Original von Sonic22 $\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{n}+1 \end{eqnarray*}$ > $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Wie kommst darauf?

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}>a_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{n+1}>1-\frac 1 n \end{eqnarray*}$

...

27.10.2009, 20:36

Sonic22

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Ja stimmt sorry hab mich vertippt, Latex is mir noch etwas neu...

Wie kann ich das jetzt umformen, dass ich die Monotonie beweißen kann? Brauche ich nicht zunächst die (obere) Berschränktheit?

27.10.2009, 20:39

MLRS

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Zitat:

Original von Sonic22
Ja stimmt sorry hab mich vertippt, Latex is mir noch etwas neu...

Wie kann ich das jetzt umformen, dass ich die Monotonie beweißen kann? Brauche ich nicht zunächst die (obere) Berschränktheit?

Nein, für Monotonie braucht es keine Beschränkheit.

Die Umformungen solltest du hinbekommen.

Nachdem du das gemacht hast (also die Ungleichung bewiesen), formulierst du das mit den Schranken nochmal möglichst korrekt.

Wenn Beschränkheit und Monotonie nachgewiesen ist hast du auch die Konvergenz.

27.10.2009, 20:41

Sonic22

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Ich glaube genau da liegt so mein Problem...Ich weis nicht so genau was mit Umformung gemeint ist...

27.10.2009, 20:49

MLRS

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Runter von der Leitung Idee!

Idee!

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{n+1}>1-\frac 1 n \end{eqnarray*}$

Du könntest zB. 1 subtrahieren, die beiden Terme mit minus davor auf die jeweils andere seite bringen, mit dem hauptnenner multiplizieren und mal schaun was übrig bleibt Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.10.2009, 21:02

Sonic22

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$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ > $\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ minus1
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ > $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Das wäre mal mein Ansatz

27.10.2009, 21:04

Sonic22

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Vor dem ersten Term steht noch ein Minus, also linksseitig.

27.10.2009, 21:05

MLRS

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jetzt positiv machen und brüche loswerden

27.10.2009, 21:10

Sonic22

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Also das ganze mal (-1)

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

27.10.2009, 21:11

Sonic22

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vertippt...der erste TErm sollte so aussehen:

1/(n+1)

27.10.2009, 21:25

MLRS

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bist du dir so unsicher, dass du jeden einzelnen schritt prüfen lassen musst? geschockt

geschockt

Du bist bei
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

mach weiter und formulier dann das mit den schranken

27.10.2009, 21:31

Sonic22

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Ja bin etwas ängstlich wenn das Wort "Folge"auftritt, sorry...

Jetzt würde ich - 1/n rechnen

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ <0

??

27.10.2009, 21:36

MLRS

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

mit n(n+1) multiplizieren

27.10.2009, 21:41

Sonic22

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1< $\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{n} \end{eqnarray*}$

was meintest du mit n(n+1) verstehe ned wie du darauf kommst`?

27.10.2009, 21:44

Sonic22

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Ah und dann noch mit n multiplizieren af der andern seite dann steht da:

1n<(n+1)

27.10.2009, 21:48

MLRS

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Zitat:

Original von Sonic22
Ah und dann noch mit n multiplizieren af der andern seite dann steht da:

1n<(n+1)

und nach subtraktion von n: 0<1

das hättest du aber ohne probleme alleine schaffen sollen

Nun zu den Schranken: du hast schon das wichtigste gesagt, schön formulieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.10.2009, 21:58

Sonic22

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Ja normalerweise mach ich das mit links aber wenn es um Folgen geht meine ich irgendwie immer da müsste was "besonderes" geschehen, eine Art Phobie Big Laugh

Big Laugh

e

Als0 ist die Folge monoton wachsend.
Die obere Schranke ist 1, die untere Schranke ist 0.

??

27.10.2009, 22:00

MLRS

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Zitat:

Original von Sonic22
Als0 ist die Folge monoton wachsend.
Die obere Schranke ist 1, die untere Schranke ist 0.

Warum? ohne begründung geht nix

Wie ich bereits gesagt habe: um konvergenz nachzuweisen reicht die existent irgendeiner oberen schranke...du musst dir das leben nicht unnötig schwer machen und 1 wählen Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.10.2009, 22:00

Sonic22

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0>=an<1

27.10.2009, 22:02

Sonic22

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DA an gegen 1 konvergiert ist 1 die obere Schranke.

27.10.2009, 22:06

MLRS

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Zitat:

Original von Sonic22
DA an gegen 1 konvergiert ist 1 die obere Schranke.

du willst kovergenz erst beweisen...

Mein wink mit dem zaunpfahl hat wohl nicht ausgereicht:

nimm einfach 2 als obere schranke...dass $\begin{eqnarray*} 1-\frac 1 n \end{eqnarray*}$ niemals größer als 2 wird ist logisch, aber für beschränktheit reicht das

untere schranke:
für monoton steigende funktionen gilt: $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ ist automatisch untere schranke (auch logisch)
in diesem fall ist das 0, wie du richtig erkannt hast

27.10.2009, 22:15

Sonic22

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Ok danke dir! So langsam verstehe ich das Ganze! Big Laugh

Big Laugh

Thread wurde abgetrennt. Neue Aufgabe -> neuer Thread! Hier gehts weiter: Analyse von Folgen
Q-fLadeN

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