Untergruppe einer symmetrischen Gruppe

27.10.2009, 00:15

Faculty

Untergruppe einer symmetrischen Gruppe

Eine Aufgabe, die ich zuvor bearbeitet hatte lautete folgendermaßen:
"Geben Sie eine Untergruppe der Ordnung 20 in der symmetrischen Gruppe $\begin{eqnarray*} S_5 \end{eqnarray*}$ an."
Meine Lösung dazu war, dass z.B. $\begin{eqnarray*} < (12345), (12)(34) > \end{eqnarray*}$ eine solche Gruppe erzeugen würde.

Meine Frage zu dieser Aufgabe lautet nun:
Warum ist: $\begin{eqnarray*} (12)(34)(12345) =[(12345)^4(12)(34)]^{-1} \end{eqnarray*}$ ;
$\begin{eqnarray*} (12345)(12)(34) =[(12)(34)(12345)^4]^{-1} \end{eqnarray*}$
oder $\begin{eqnarray*} (12)(34)(12345)^4(12)(34) = (12345)(12)(34)(12345) \end{eqnarray*}$ ?

Gibt es dazu irgendwelche bekannten Sätze? Oder hab ich nur etwas relativ simples übersehen?

Faculty

27.10.2009, 00:32

Faculty

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Ok, bei den ersten beiden hab ich auf jeden Fall was simples übersehen:

$\begin{eqnarray*} (12)(34)(12345) =[(12345)^4(12)(34)]^{-1} = [(12)(34)]^{-1}(12345)^{-4} \Leftrightarrow (12345)^5 = id \end{eqnarray*}$

Auf das dritte bin ich aber leider immernochnicht gekommen.

27.10.2009, 10:44

Reksilat

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Das geht eigentlich ganz einfach mit Geradeausrechnen.
Ich zerlege einfach $\begin{eqnarray*} (12)(34)(12345)^4(12)(34) \end{eqnarray*}$ in disjunkte Zyklen:

Was passiert mit der 1?
1 Wird von $\begin{eqnarray*} (12) \end{eqnarray*}$ auf 2 abgebildet
2 wird von $\begin{eqnarray*} (34) \end{eqnarray*}$ festgelassen
2 wird von $\begin{eqnarray*} (12345)^4 \end{eqnarray*}$ auf 1 abgebildet.
1 wird von $\begin{eqnarray*} (12) \end{eqnarray*}$ auf 2 abgebildet
2 wird von $\begin{eqnarray*} (34) \end{eqnarray*}$ festgelassen

Also geht 1 auf 2.

So sieht man, dass $\begin{eqnarray*} (12)(34)(12345)^4(12)(34)=(12534) \end{eqnarray*}$ ist.

Analog funktioniert die rechte Seite.

Gruß,
Reksilat.

27.10.2009, 12:55

Faculty

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Danke für die Antwort, dass es so ist, ist mir klar, ich habe mich eher gefragt, warum dass so ist, da man ja eine gewisse Symmetrie sehen kann.
So ist z.B. auch:

$\begin{eqnarray*} (12345)^4(12)(34)(12345)^4 = (12)(34)(12345)(12)(34) \end{eqnarray*}$

27.10.2009, 13:00

Reksilat

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Zitat:

dass es so ist, ist mir klar

Und warum schreibst Du das nicht?

Es ist für $\begin{eqnarray*} a=(12)(34), b=(12345) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} ab=(135) \end{eqnarray*}$ , also ein Element der Ordnung 3.
damit: $\begin{eqnarray*} ababab=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} aba=b^{-1}a^{-1}b^{-1}=b^{4}ab^{4} \end{eqnarray*}$

Gruß,
Reksilat.

27.10.2009, 13:22

Faculty

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Okay, vielen Dank.

27.10.2009, 14:03

TommyAngelo

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Müsste man nicht die Zyklen von rechts nach links durchgehen?

27.10.2009, 15:36

Reksilat

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Nein, man muss sie so durchgehen, wie das der Dozent gerade in der Vorlesung macht oder wie man es sich selbst festlegt.

Es kommt eben darauf an, ob man die Permutationen von links in klassischer Funktionenschreibweise auf die Argumente löslässt oder von oben rechts, wie man es bei Gruppenoperationen macht. Das macht eben jeder wie er will... In der Mathematik nicht ungewöhnlich.

Also: $\begin{eqnarray*} \sigma\in S_n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x\in\{1,...,n\} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sigma:x\to y \end{eqnarray*}$
Manche schreiben $\begin{eqnarray*} \sigma(x)=y \end{eqnarray*}$ und andere $\begin{eqnarray*} x^\sigma=y \end{eqnarray*}$
Je nach Schreibweise funktioniert die Multiplikation anders.

Gruß,
Reksilat.

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