Vollst. Induktion bei Ungleichungen

27.10.2009, 10:42

de Jo

Vollst. Induktion bei Ungleichungen

einen wunderschönen guten tag,

bitte um hilfe für vollgehende aufgabe...

sei x > -1. zeigen sie durch vollst. Induktion, dass (1+x)^n >gleich 1+nx für jedes n element No ist:

mein ansatz:

IA mit n=1, dann komm ich auf x>gleich x ????????

IS wenn ich für n -> n+1 einsetze komme dann auf
1^n + x^n +2 >gleich 1+ nx+x
womit ich auch wieder nix anfangen kann...

bitte um tipps...

danke

27.10.2009, 10:46

klarsoweit

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RE: Vollst. Induktion bei Ungleichungen

Zitat:

Original von de Jo
IA mit n=1, dann komm ich auf x>gleich x ????????

Ja.

Zitat:

Original von de Jo
IS wenn ich für n -> n+1 einsetze komme dann auf
1^n + x^n +2 >gleich 1+ nx+x

Mich würde interessieren, was du auf der linken Seite gerechnet hast.

27.10.2009, 10:51

de Jo

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RE: Vollst. Induktion bei Ungleichungen
super schnelle antwort, genial!!!!!
danke

also...
links hab ich ja dann...
(1+x)^n+1 = 1^n+1 + x^n+1 = 1^n + 1 + x^n + 1 = 1^n + x^n +2

27.10.2009, 10:57

de Jo

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RE: Vollst. Induktion bei Ungleichungen
hab schon ein fehler entdeckt....
(1+x)^n+1 = 1^n+1 + x^n+1 = 1^n + 1 + x^n + 1 = 1^n + x^n + x + 1

folglich

1^n + x^n >gleich nx verwirrt

27.10.2009, 11:02

klarsoweit

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RE: Vollst. Induktion bei Ungleichungen

Zitat:

Original von de Jo
hab schon ein fehler entdeckt....
(1+x)^n+1 = 1^n+1 + x^n+1

Interessant, wie mal wieder mathematische Regeln quasi im Tiefflug erfunden werden. Kleiner Test:

x = 1, n=2: $\begin{eqnarray*} 8 = (1+1)^3 = 1^3 + 1^3 = 2 \end{eqnarray*}$

Also deine Regel ist durchgefallen. Es ist ja auch geschickter, die linke Seite so umzuformen, daß man da was mit $\begin{eqnarray*} (1+x)^n \end{eqnarray*}$ stehen hat.

Zitat:

Original von de Jo
1^n+1 + x^n+1 = 1^n + 1 + x^n + 1

Da schweigt des Sängers Höflichkeit.

27.10.2009, 11:18

de Jo

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RE: Vollst. Induktion bei Ungleichungen
OK....

darf ich aus $\begin{eqnarray*} (1+x)^n+1 = (1+x)^n * (1+x)^1 = x*(1+x)^n \end{eqnarray*}$
machen... verwirrt

27.10.2009, 11:24

klarsoweit

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RE: Vollst. Induktion bei Ungleichungen
Das ist ok:
$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} = (1+x)^n \cdot (1+x)^1 \end{eqnarray*}$

Das ist falsch:
$\begin{eqnarray*} (1+x)^n \cdot (1+x)^1 = x \cdot (1+x)^n \end{eqnarray*}$
Da läßt du bei dem Ausdruck (1+x) einfach die 1 weg.

Du kannst aber auf $\begin{eqnarray*} (1+x)^n \end{eqnarray*}$ die Induktionsvoraussetzung anwenden.

27.10.2009, 11:26

de Jo

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RE: Vollst. Induktion bei Ungleichungen
Da schweigt des Sängers Höflichkeit.

ich weiss, dass mir viel Grundwissen fehlt, aber ich arbeite dran....

27.10.2009, 11:44

de Jo

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RE: Vollst. Induktion bei Ungleichungen
Du kannst aber auf $\begin{eqnarray*} (1+x)^n \end{eqnarray*}$ die Induktionsvoraussetzung anwenden.[/quote]

danke, ich weiss aber jetzt ganz und gar net wie ich die induktionsvoraussetzung anwenden kann/soll.

habe soweit...

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n * (1+x) >= 1 + nx + x \end{eqnarray*}$

was ist denn meine I.voraussetzng?

27.10.2009, 11:46

de Jo

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RE: Vollst. Induktion bei Ungleichungen
I.voraussetzung x> -1 ?????????

27.10.2009, 11:53

de Jo

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RE: Vollst. Induktion bei Ungleichungen
$\begin{eqnarray*} (1+x)^n * (1+x) >= 1 + nx + x \end{eqnarray*}$

wenn diese umforme mit geteilt durch $\begin{eqnarray*} (1+x) \end{eqnarray*}$ und dann kürze, komme ich ja wieder auf

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n >= 1 + nx \end{eqnarray*}$

ist das net schon der Beweis????

27.10.2009, 12:12

klarsoweit

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RE: Vollst. Induktion bei Ungleichungen

Zitat:

Original von de Jo
was ist denn meine I.voraussetzng?

Das Nicht-Wissen darüber, was die Induktionsvoraussetzung ist, ist der Grund für das Scheitern vieler Induktionen.

Die Induktionsvoraussetzung ist das, was man im Induktionsschritt als wahr annimmt. In diesem Fall ist das die Ungleichung $\begin{eqnarray*} (1+x)^n >= 1 + nx \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von de Jo
$\begin{eqnarray*} (1+x)^n * (1+x) >= 1 + nx + x \end{eqnarray*}$

wenn diese umforme mit geteilt durch $\begin{eqnarray*} (1+x) \end{eqnarray*}$ und dann kürze, komme ich ja wieder auf

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n >= 1 + nx \end{eqnarray*}$

Für die linke Seite stimmt das. Es ist aber nicht $\begin{eqnarray*} (1 + nx + x) / (1+x) = 1 +nx \end{eqnarray*}$ .
Auch hier wieder die Probe mit x=1 und n=1: 3 / 2 = 2 . <-- Ist offensichtlich falsch.
Du rechnest mit irgendwelchen Umformungen einfach nur wüst rum, ohne mal ansatzweise zu checken, ob das überhaupt stimmen kann. unglücklich

Wie gesagt kannst du auf $\begin{eqnarray*} (1+x)^n \cdot (1+x) \end{eqnarray*}$ die Induktionsvoraussetzung anwenden, indem du für $\begin{eqnarray*} (1+x)^n \end{eqnarray*}$ den Term (1 + nx) einsetzt. Dadurch erhältst du einen Ausdruck, der kleiner ist als $\begin{eqnarray*} (1+x)^n \cdot (1+x) \end{eqnarray*}$ .

Alternativ kannst du auch Induktionsvoraussetzung $\begin{eqnarray*} (1+x)^n >= 1 + nx \end{eqnarray*}$ hernehmen und diese mit dem term (1+x) multiplizieren.

27.10.2009, 13:32

de Jo

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RE: Vollst. Induktion bei Ungleichungen
nochmals, danke für deine hilfe und gedult, hoffe sie ist noch net ganz aufgebraucht... Augenzwinkern

also dann setze ich $\begin{eqnarray*} (1+nx) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (1+x)^n \end{eqnarray*}$ ein

$\begin{eqnarray*} (1+nx) * (1+x) >= 1+nx+x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1+x+nx+nx^2 >= 1+nx+x \end{eqnarray*}$

und daraus folgt mit meine deprimierenden umform fähigkeiten...

$\begin{eqnarray*} nx^2 >= 0 \end{eqnarray*}$ verwirrt

ich hab es wirklich mehrfach gecheckt und find den bzw. die fehler net!!!!!

27.10.2009, 13:52

klarsoweit

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RE: Vollst. Induktion bei Ungleichungen
Du hast jetzt eine wahre Aussage erhalten. Jetzt mußt du nur die ganzen Bausteine sauber zusammensetzen:

Induktionsvoraussetzung: $\begin{eqnarray*} (1+x)^n \geq 1 + nx \end{eqnarray*}$

Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \geq 1 + (n+1)x \end{eqnarray*}$

Es gilt: $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} = (1+x)^n \cdot (1+x) \geq (1 + nx) \cdot (1 + x) = 1 + nx + x + nx^2 \geq 1 + (n+1)x \end{eqnarray*}$
wegen nx² >= 0. Fertig.

Wie du siehst, wenn man die Brocken ordentlich aufschreibt, ist das ein lockerer Einzeiler. Augenzwinkern

27.10.2009, 14:36

de Jo

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RE: Vollst. Induktion bei Ungleichungen
[SIZE=20] danke dir!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

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