Winkel zwischen Normale und Koordinatenachsen

27.10.2009, 13:41	MelanieS	Auf diesen Beitrag antworten »
Winkel zwischen Normale und Koordinatenachsen Hallo alle zusammen! Ich habe folgende Aufgabenstellung: Berechne die Winkel zwischen den Koordinatenachsen und der Normalen an die Fläche $\begin{eqnarray} <br /> x^{2}+x^{2}-xz-yz=0<br /> \end{eqnarray}$ an der Stelle x=0, y=2! So was ich nun schon gemacht habe, ist die Berechnung der Normalen über die Normalengleichung. Damit ergibt sich die Gleichung: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{x}{-2} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-2}{-2}<br /> \end{eqnarray}$ Als nächstes wäre der Winkel zwischen Normale und Koordinatenachse zu berechnen. Dafür gibt es ja folgende Formel: $\begin{eqnarray} <br /> \alpha = arccos(\frac{a1b1+a2b2+a3b3}{\|a\|\|b\|})<br /> \end{eqnarray}$ Mein Problem ist nun: Wie verwende ich diese Formel für meine Normalen? Danke im Voraus für alle Tipps! Lg Mel
27.10.2009, 17:19	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Was du brauchst, ist nicht die Gleichung der Normalen, sondern der Normalvektor in diesem bestimmten Punkt auf die Fläche. Dazu muss der Gradient ermittelt werden (partielle Ableitungen der impliziten Funktion f(x,y,z) = 0 nach allen drei Variablen x, y, z). P.S.: Stimmt die Angabe? Zwei mal das quadratische x? mY+
28.10.2009, 10:43	MelanieS	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt, da habe ich mich vertippt. Die original Funktion lautet $\begin{eqnarray} <br /> x^{2}+ y^{2}-xz-yz=0<br /> \end{eqnarray}$ Um die Normalengleichung bilden zu können musste ich partiell differentieren. Also $\begin{eqnarray} <br /> \frac{dF}{dx} = 2x-z,<br /> \frac{dF}{dy} = 2y-z,<br /> \frac{dF}{dz} = -x-y<br /> \end{eqnarray}$ Danach habe ich eingesetzt mit $\begin{eqnarray} <br /> x=0,y=2,z=2<br /> \end{eqnarray}$ und komme auf $\begin{eqnarray} <br /> -z, 4-z, -2<br /> \end{eqnarray}$ Und mit diesen Werten komme ich dann auf die Normalengleichung. Oder ist der Vektor $\begin{eqnarray} <br /> -z, 4-z, -2<br /> \end{eqnarray}$ zu verwenden? Danke für die Hilfe!
28.10.2009, 12:36	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Da der Punkt auf F liegt, kann dessen z-Koordinate berechnet werden! 4 - 2z = 0 z = 2 Der Normalvektor lautet dann (-2; 2; -2) oder abgekürzt (einfacher) auch (1; -1; 1). Mit dem Punkt (0; 2; 2) kann nun die Gleichung der Normalen (in Parameterform) ermittelt werden. mY+
28.10.2009, 12:58	MelanieS	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wie komme ich dann auf die Winkel? Ich weiß leider nicht wie ich die Formel verwenden soll mit dieser Information.
28.10.2009, 13:31	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es sind ja nun beide Vektoren (Normalvektor UND Richtungsvektor einer Koordinatenachse; musst nacheinander mit allen dreien rechnen) vollständig gegeben. Z.B. (1; -1; 1) mit x-Achse (1; 0; 0). Damit ist die Beziehung $\begin{eqnarray} \cos \varphi = \frac{a \cdot b}{\|a\| \cdot \|b\|} \ \text{ ; a, b .. Vektoren} \end{eqnarray}$ zu füttern. * mY+ ) Info: Im Falle der Koordinatenachsen sind das "Richtungscosini" und für diese gilt auch: $\begin{eqnarray} \cos^2 \varphi_x + \cos^2 \varphi_y + \cos^2 \varphi_z = 1 \end{eqnarray*}$ wie leicht bewiesen werden kann.
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