Potenzen von komplexen Zahlen

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27.10.2009, 15:46

vejlivialos

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Potenzen von komplexen Zahlen

Wie berechnet man Potenzen von Komplexe Zahlen? z.B(1+i)^17.

Und die Wurzeln? z.B der 17. Wurzel aus (1+i)

27.10.2009, 15:48

Mazze

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Du könntest 17 mal ausmultiplizieren. Oder aber Du erinnerst dich das es die Form

$\begin{eqnarray*} z = a + bi = |z|e^{i\phi} \end{eqnarray*}$

gibt, mit der man ganz leicht Potenzieren kann.

Zitat:

Und die Wurzeln? z.B der 17. Wurzel aus (1+i)

Das geht ganz genauso Augenzwinkern

27.10.2009, 16:02

vejlivialos

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Alle Formeln weiss ich, aber ich verstehe nicht wie man das genau macht. smile

27.10.2009, 16:06

Mazze

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Also $\begin{eqnarray*} |z| \end{eqnarray*}$ kannst Du leicht ausrechnen. Dazu brauchst Du noch den Winkel $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ . Den Winkel zu bestimmen lernt man schon in der Schule. Das ist nämlich nichts anderes als Sin/Cos-Sätze fürs Dreieck.

Zeichne es Dir mal. Zeichne also die komplexe Zahlenebene (x Achse = real Teil und y Achse imaginär Teile). Dann markiere den Punkt 1 + i, also (1,1). Zeichne ein Dreieck und bestimme den entsprechenden Winkel Augenzwinkern

. Du wirst feststellen das Du da genau die Formel für Phi herausbekommst.

27.10.2009, 16:14

vejlivialos

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Also die Rechnung lautet:

(1+i)^17=(sqrt(1^2+1^2)*e^i*(pi/4))^17=

(sqrt2*e^i*pi/4)^17

und die Lösunden sind +- sqrt(2^17*i) und +- sqrt(2^17)

27.10.2009, 16:24

Mazze

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Zitat:

und die Lösunden sind +- sqrt(2^17*i) und +- sqrt(2^17)

Da komm ich nicht ganz mit. Den Winkel hast Du richtig bestimmt. Das ergibt :

$\begin{eqnarray*} z^{17} = \left(\sqrt{2}e^{i\phi}\right)^{17} \end{eqnarray*}$

Das kann man mittels Potenzgesetzen umformen und mit

$\begin{eqnarray*} e^{i\phi} = \cos(\phi) + i\sin(\phi) \end{eqnarray*}$

erhält man wieder die ursprüngliche Form.

27.10.2009, 16:36

vejlivialos

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Gut aber wenn man das macht dann kommt man wieder auf (1+i)^17

27.10.2009, 16:44

Mazze

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Nö,

$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{2}e^{i\phi}\right)^{17} = \sqrt{2}^{17}e^{17i\phi} = \sqrt{2}^{17}(\cos (17 \phi ) + i\sin (17\phi )) \end{eqnarray*}$

27.10.2009, 16:44

vejlivialos

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Mein Fehler smile

man kommt auf

(sqrt2)^17 * (cos 17*pi/4+i*sin17*pi/4

und was macht man danach?

27.10.2009, 16:48

Mazze

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Hier muss man jetzt die Periodizität benutzen. Es ist

$\begin{eqnarray*} e^{i\phi} = e^{i(\phi + 2k\pi)} ~ k \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Wenn Du dir die Zeichnung gemacht hats verstehst Du das man ja für den Winkel auch jeweils 2k-mal um den Kreis rumlaufen kann. Nun ist

$\begin{eqnarray*} 17\pi = \pi + 16\pi =\pi + 8*2*\pi \end{eqnarray*}$ also

$\begin{eqnarray*} e^{i17\pi} = e^{i\pi + 8*2*\pi} = e^{i\pi} \end{eqnarray*}$

Wie Du das auf pi/4 anwendest überlass ich mal dir Augenzwinkern

27.10.2009, 16:50

vejlivialos

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Danke sehr!!!

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