Symmetrische und transitive Relation, aber keine reflexive

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Marianne84 Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrische und transitive Relation, aber keine reflexive
Hallo Leute,

ich habe ein Problem bei einer Fragestellung. Ich habe schon in den anderen Threads geguckt, konnte jedoch nichts finden was mich weiterbringen könnte. Kann mir jemand ein Beispiel für eine Äquivalenzrelation nenne, die symmetrisch und transitiv ist, jedoch nicht reflexsiv?

Vielen Dank im vorraus.

Liebe Grüße

Marianne
Dunkit Auf diesen Beitrag antworten »

Naja eine Äquivalenzrelation ist es dann ja nichtmehr Augenzwinkern

Ein Beispiel wäre (mit zB . Das ist transitiv und symmetrisch, aber nicht reflexiv
Marianne84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Dunkit, vielen dank für die schnelle Antwortsmile

Hab mich jedoch leider etwas vertan. Die Aufgabenstellung lautet:

Sei R eine symmetrische und transitive partielle Relation auf einer Menge A. Dann gilt offensichtlich xRy => yRx wegen der Symmetrie von R. Weiter folgt hierraus mit der Transitivität von R, dass xRx gilt. Die Frage ist, ob dass jetzt schon eine Äquivalenzrelation ist.

Ich habe erst vor kurzem mit Relationen angefangen und bin mir da absolut nicht sicher. Ich glaube es ist eine Äquivalenzrelation, aber ich kann es nicht begründen.

Und die zweite Fragen war, dass wir eine partielle Relation angeben sollten, die symmetrisch und transitiv ist, jedoch nicht reflexiv.

Ich weiss einfach beim besten Willen nicht wie ich es in der Korrekten Notation schreiben sollgeschockt
Dunkit Auf diesen Beitrag antworten »

Ähm sorry, da bin ich raus, was ist eine partielle Relation?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Mit partieller Relation meint Sie wohl das nicht alle Elemente der Grundmenge in Relation stehen.

Zitat:
Sei R eine symmetrische und transitive partielle Relation auf einer Menge A. Dann gilt offensichtlich xRy => yRx wegen der Symmetrie von R. Weiter folgt hierraus mit der Transitivität von R, dass xRx gilt. Die Frage ist, ob dass jetzt schon eine Äquivalenzrelation ist.


Für die Reflexivität gilt :



Sprich, es muss für alle Elemente der Grundmenge gelten. Sieh dir zum Beispiel mal das hier an :





Das Ding ist symmetrisch und transitiv, aber nicht reflexiv da (3,3) gar nicht drin ist.
Marianne84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dass leuchtet einsmile

Ich hatte vorhin gelesen, dass eine nicht reflexive Relation auch als (R Teilmenge von M echte Teilmenge von M) geschrieben werden kann (Sorry, ich hab noch nicht ganz rausgefunden wie man diese schicke Mathematische Notation hier einfügen kann^^)
 
 
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Auch reflexive Relationen können echte Teilmengen des kartesischen Produktes sein. Was die Notation angeht, es gibt hier einen Formeleditor (rechts) der einige Grundfunktionen bietet.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dunkit
Ein Beispiel wäre (mit zB . Das ist transitiv und symmetrisch, aber nicht reflexiv

x=5,y=6,z=5
nicht transitiv Augenzwinkern
Mathabc Auf diesen Beitrag antworten »

Die Relation ist aber noch nicht einmal transitiv. Zum beispiel gilt 3 != 4 !=3 . Jetzt müsste deiner Aussage nach 3 !=3 folgen. Das stimmt offensichtlicherweise nicht.
Späte Antwort Auf diesen Beitrag antworten »

Habe den Thread via Google gefunden, daher sry für das Aufwärmen.
Für Andere die hierauf stoßen: Ich denke die einzig transitiv, symmetrisch und nicht reflexive Relation ist die leere Relation.
Da für beliebige x, y in einer symmetrischen Relation xRy impliziert, dass yRx gilt muss über die Transitivität auch xRx gelten. aRb und bRc impliziert aRc, hier a=x, b=y und c=x.
Daher darf die Relation keine Elemente enthalten und muss entsprechend die leere Menge sein.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt nicht. Gegenbeispiel : M={1, 2},R={(1,1)}. R ist symmetrisch und transitiv aber nicht reflexiv.
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