Grenzwerte mit l'Hospital

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gessi Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwerte mit l'Hospital
Hallo,

nachdem ich schon öfter vergeblich versucht habe, diese Grenzwerte zu berechnen bzw. nicht weiß, ob sie stimmen, frage ich mal hier:

Ach ja, wir sollen alle Grenzwerte mit l'Hospital berechnen.
In 5) und 6) sind positive Konstanten.

1)
Hier fällt mir noch nicht mal ein, wie man das (sinnvoll) in einen Bruch umwandeln könnte... Ich weiß natürlich, dass . Aber das bringt mich nicht weiter.

2)
Da habe ich immerhin einen Bruch mit dem Fall . Umschreiben ergibt
Aber das haut mit dem Graphen nicht hin.

3)
Dann gilt .
Kann ich dann nochmal l'Hospital anwenden? Dann hätte ich

4)
Das kann man umschreiben zu . Dann betrachte ich nur noch . Das ist 0 (da fließt l'Hospital ein, das schreib ich jetzt nicht her, hatten wir in der Vorlesung und hab ich auch verstanden Augenzwinkern ). Damit ist also .

5)
Dann habe ich

6)
Das ist dann . Wenn ich das jetzt immer weiter mache, komme ich schließlich (Beweis per Induktion) auf

Bei 3) und 6) hätte ich allerdings erst mal die grundsätzliche Frage, ob ich den l'Hospital mehrmals anwenden darf. Eigentlich spricht doch nichts dagegen, oder?
sax Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte jetzt keine Lust mir alles durchzulesen, aber einen kleine Tipp zu a)
kann ich geben:

Jetzt hast du die Form ""
pfnuesel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwerte mit l'Hospital
2) Passt doch?



3) Richtig, du kannst L'Hopital so oft anwenden wie du willst.

4) - 6) sieht ja gut aus, hab's mir jetzt aber nicht im Detail angeschaut. Oder hast du dazu noch Fragen?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zu erstens:

Schreib mal das ganze als auf und benutze das die Exponentialfunktion stetig ist, das also



Dann findeste auch die Stelle wo Du L'Hospital brauchst.

zu zweitens:

also die 0 stimmt, aber ich frag mich wo Du da log(e) herzauberst?

zu drittens:

Ja, natürlich kann man L'Hospital mehrfach anwenden. 0 ist richtig.

zu viertens:

Jop,

Bei füntes versteh ich nicht ganz was Du da machst.

zu sechstens:

Sind alpha/beta nur positiv oder positiv ganzzahlig?
pfnuesel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mazze
also die 0 stimmt, aber ich frag mich wo Du da log(e) herzauberst?


Ahja, habe ich übersehen. Da müsste man wohl zuerst wissen, was log eigentlich bedeutet. Den Zehner-Logarithmus oder den natürlichen?
gessi Auf diesen Beitrag antworten »

@ pfnuesel: log ist der Zehnerrlogarithmus, ln der natürliche. Ich habe den 10erlog in den ln umgewandelt, damit ich ableiten kann.

@ Mazze: Alpha und Beta sind positive Konstanten, von ganzzahlig steht nichts da.
Darf man meine Umformungen nur machen, wenn sie ganzzahlig sind?

Bin nur kurz in der Uni ins Internet, werd mich nachher daheim mal mit der 1) beschäftigen. Danke für die Tips!

So, hab mich jetzt der 1) gewidmet...

Also: .
Betrachte nur den Exponenten: .

Also

Ach ja, die 2) passt natürlich mit dem Graphen - man sollte halt nicht anschauen, was bei 0 passiert, wenn n nach unendlich geht Hammer
 
 
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Darf man meine Umformungen nur machen, wenn sie ganzzahlig sind?


Was ist denn wenn alpha etwa 2.5 ist?
Zudem, wenn alpha nicht ganzzahlig positiv ist verschwindet bei keiner noch so hohen Ableitung.
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

@Mazze: Man könnte die Fakultätenfunktion ja auf (fast) ganz ausweiten wenn man nur will ....
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenne die Verallgemeinerungen mittels der Gammafunktion, die Sache ist obs hier wirklich so gemeint ist.
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Der Punkt ist, dass lediglich die Notation falsch ist, die Aussage dass im Zähler ein immer langsam größerwerdenter Wert steht stimmt ja, und das der Quotient, da durch eine unbegrenzt wachsende Expotentialfunktion im Nenner stark beeinträchtig, gegen 0 strebt stimmt auch.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Jo, ich hab jetzt auch gesehn das sobald alpha negativ wird beim Ableiten das x ja in den Nenner rutscht, und der ganze Spaß dann auch weiterhin gegen null geht. Naja, bin ich wohl nur über die Notation gestolpert. Gott
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Die allerdings auch, und da hast du vollkommend Recht, nicht sehr Günstig ist.


\\edit: LOL Hammer Mir fällt jetzt erst auf das die Gammafunktion ja in Gessis Avatar-Bildchen ist LOL Hammer

Evtl. kam ich auch deshalb unterbewusst auf diese Idee Hammer
gessi Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gamma-Funktion ist doch hübsch Big Laugh

Zitat:
Jo, ich hab jetzt auch gesehn das sobald alpha negativ wird beim Ableiten das x ja in den Nenner rutscht, und der ganze Spaß dann auch weiterhin gegen null geht. Naja, bin ich wohl nur über die Notation gestolpert


Der Fall ist ausgeschlossen, weil Alpha positiv ist.

Mit auf ausweiten oder der Gamma-Funktion sollten wir glaube ich nichts machen - das ist eine Übungsaufgabe aus dem 1. Sem. und die Gamma-Funktion hatten wir nur im 2. mal als Randbemerkung und in Ana noch gar nicht.

Wie würde ich es dann machen/notieren (wenn ich das alles nicht kenne)?
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Endweder unsauber mit oder schöner und vorallem genauer aber umständlicher zu tippen und für den Zeichensatz:
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne l'Hospital, wenn ich nicht schon zu müde bin: Es gibt ein , sodass für fast alle x gilt.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ohne l'Hospital, wenn ich nicht schon zu müde bin:

Zu müde.... hmmm, nö, ist an sich schon okay - die letzte Ungleichung (bzw. hier die Existenz von K) müsstest du natürlich noch zeigen - schwer sollte das nicht sein, denke ich.
Zitat:
für fast alle x

da gerate ich eher ins Stocken - diese Formulierung kenne ich nur für natürliche Zahlen (bzw. abzählbar viele Zahlen), vielleicht wäre "ab einem x0" eine geeignetere Formulierung.
(edit: x durch x0 ersetzt, x ist ja die Laufvariable, die sollte nicht auch Grenze sein; für "ab x0" gibt es dann natürlich wieder die mathematischere Formulierung "für alle x>x0")

Für unsere l'Hospitalisten (und insb. gessi) wäre es mal an der Zeit, Nägel mit Köpfen zu machen - ich habe jetzt massenhaft zu 5) und 6) gelesen, aber noch keine gescheite Gesamtformulierung. Die sollte jetzt eigentlich nicht mehr schwer fallen.

Warum endet deine Pünktchenschreibweise von mit 2, Uli?

Meine 12 Buchstaben zum Thema.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
da gerate ich eher ins Stocken - diese Formulierung kenne ich nur für natürliche Zahlen (bzw. abzählbar viele Zahlen), vielleicht wäre "ab einem x" eine geeignetere Formulierung.


Ja, das ist unglücklich formuliert - fast alle muss man auf abzählbar unendliche Mengen beschränken, sonst ergibt die Aussage keinen Sinn.

Warum bin ich eigentlich noch nicht Im Bett geschockt


Gute Nacht.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Übrigens (als Nachtrag):
Die Aussage "es gibt ein K" reicht natürlich, ist aber sehr schwach.
Für alle K mit gilt das... wobei "das" natürlich für die letzte Ungleichung steht.



Und jetzt geh ich auch ins Bett.
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
[...]

Warum endet deine Pünktchenschreibweise von mit 2, Uli?

[...]


Ich muss ehrlich zu geben ich weiss es auchned mehr genau.
Lag wahrscheinlich an der Uhrzeit( Augenzwinkern ), um hauptsächlich mal die schreibweise zu verdeutlichen .
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
Übrigens (als Nachtrag):
Die Aussage "es gibt ein K" reicht natürlich, ist aber sehr schwach.
Für alle K mit gilt das... wobei "das" natürlich für die letzte Ungleichung steht.


Besser schwach als falsch: ist genau dann erfüllt, wenn , also gilt. Wähle . Dann steht da: Augenzwinkern

Oder was meintest du?


Gruß, therisen
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ungleichung gilt doch erst ab einen x0, das bei deiner Belegung eben >e ist.
Und für alle gilt sie ab einem x0 (denke ich, ich kann ja irren Augenzwinkern ).

(Die Schranke nach unten braucht's natürlich nicht)
gessi Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal was zu 5) und 6)

Zur Erinnerung: Ich hatte

Dann kam der Einwand, dass ich ja nicht weiß, ob das ganzzahlig ist und Lazarus Vorschlag:

Zitat:
Original von Lazarus
und vorallem genauer aber umständlicher zu tippen und für den Zeichensatz:


D.h.

wird immer kleiner und verändert sich v.a. irgendwann nicht mehr, d.h. im Zähler steht dann eine Konstante, der Nenner geht nach unendlich => der Bruch geht gegen 0.

Ist das so korrekt (ich meine auch von der Formulierung her)?
Wie würde ich da die Induktion machen?


5)

Mir ist vorhin aufgefallen, dass ich da Murks gemacht habe, denn
ist nicht , da das nicht in der Klammer steht.

Ich vermute mal, dass es ähnlich wie die andere Aufgabe geht, habe aber ein Problem beim Aufschreiben. Ich schreibe es jetzt mal unsauber auf, als ob :


Das kann ich so schreiben wie das . Aber was mache ich mit dem ? Ich muss ja irgendwo mal aufhören. Wäre , wäre es klar - aber wie schreibe ich es auf, wenn das nicht der Fall ist?
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