Ableitung von Exponential- und Wurzelfunktionen

27.10.2009, 18:21

Whats-that

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Ableitung von Exponential- und Wurzelfunktionen

ICh schreibe dies Woche Klausur über die Differenzialrechnung und ein Teil der Klausur wird die Expontial- und Wurzelfunktion sein. Das Problem ist das ich keine Ahnung vonm deren Ableitungen habe. Die einzige Möglichkeit wäre für mich der Differenzenqutient. Jetzt ist meine Frage ob es für diese Funktion auch Ableitungsregeln gibt. Mein Mathebuch gibt mir keinen Hinweis drauf.

Bei der Expontialfunktion hab ich das hier rausgefunden:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= f(x)* f'(0) \end{eqnarray*}$

das hilft mir aber nicht ganz so sehr.

Vielen DAnk im Vorraus

27.10.2009, 18:28

Rumpfi

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bei Exponentialfunktionen lautet die ableitung folgendermaßen.

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = e^{x} \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{g(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = e^{g(x)} * g'(x) \end{eqnarray*}$

27.10.2009, 18:30

IfindU

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RE: Ableitung von Exponential- und Wurzelfunktionen
Mir würds auch nicht so viel helfen, da man die Ableitung braucht um die Ableitung zu bestimmen.

Wurzelfunktionen können nach den Potenzgesetzen abgeleitet werden, z.b.
$\begin{eqnarray*} (\sqrt{x+5})' = ((x+5)^{0.5})' = 0.5 * (x+5)^{0.5 - 1} = \frac{1}{2\sqrt{x+5}} \end{eqnarray*}$

Exponentialfunktionen können so abgeleitet werden:
$\begin{eqnarray*} (e^{ax+b})' = (ax+b)' \cdot e^{ax+b} = a \cdot e^{ax+b} \end{eqnarray*}$

Wobei ich immer nach x abgeleitet habe.

Edit: Arrgh, etwas zu spät unglücklich

unglücklich

27.10.2009, 18:35

Whats-that

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wie wäre das wenn die aufgabe lautet:

stelle die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x) = 2^x \end{eqnarray*}$ auf

27.10.2009, 18:41

IfindU

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Weißt du wie man eine beliebige Expontialfunktion als e-Funktion darstellt?

27.10.2009, 18:54

Whats-that

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nein weiß ich nicht

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27.10.2009, 18:54

Rumpfi

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Zitat:

Original von Whats-that
wie wäre das wenn die aufgabe lautet:

stelle die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x) = 2^x \end{eqnarray*}$ auf

Kompliziert gerechnet hätt ich aus $\begin{eqnarray*} 2^{x} \Rightarrow x*\log2\ \end{eqnarray*}$ gemacht.

27.10.2009, 18:55

IfindU

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$\begin{eqnarray*} a^x = e^{\ln(a)\cdot x} \end{eqnarray*}$
Gilt für alle positiven a, dann gehts nach der alten Regel.

27.10.2009, 19:04

Whats-that

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also hätten wir dann bei

$\begin{eqnarray*} 2^x = e ^{ln 2*x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = e ^{ln 2 *x} * f'(ln2) \end{eqnarray*}$

weil weiter oben wurde ja geschrieben

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{g(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = e^{g(x)} * g'(x) \end{eqnarray*}$

27.10.2009, 19:25

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von Whats-that

$\begin{eqnarray*} f'(x) = e ^{ln 2 *x} * f'(ln2) \end{eqnarray*}$

weil weiter oben wurde ja geschrieben

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{g(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = e^{g(x)} * g'(x) \end{eqnarray*}$

Das wurde geschrieben, ja, jetzt musst du das nur noch richtig anwenden.

In diesem Fall ist nämlich $\begin{eqnarray*} g(x) = x \cdot \ln 2 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} g(x) = \ln 2 \end{eqnarray*}$

27.10.2009, 19:40

Whats-that

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okay soweit hab ich es verstanden

aber was ist dann die ableitung von

$\begin{eqnarray*} g(x) = x \cdot \ln 2 \end{eqnarray*}$

27.10.2009, 19:43

Q-fLaDeN

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$\begin{eqnarray*} \ln 2 \end{eqnarray*}$ ist konstant, also auch nur eine Zahl.

27.10.2009, 19:44

Rumpfi

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Zitat:

Original von Whats-that
okay soweit hab ich es verstanden

aber was ist dann die ableitung von

$\begin{eqnarray*} g(x) = x \cdot \ln 2 \end{eqnarray*}$

Versuch doch $\begin{eqnarray*} \ln 2 \end{eqnarray*}$ in eine Zahl umzuwandeln. Da kommt dann 0,6931 heraus.

Damit lautet die Gleichung wie folgt.

$\begin{eqnarray*} g(x) = 0,6931x \end{eqnarray*}$

Versuch doch daraus die 1. Ableitung zu bilden.

27.10.2009, 19:47

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von Rumpfi
Versuch doch $\begin{eqnarray*} \ln 2 \end{eqnarray*}$ in eine Zahl umzuwandeln. Da kommt dann 0,6931 heraus.

Damit lautet die Gleichung wie folgt.

$\begin{eqnarray*} g(x) = 0,6931x \end{eqnarray*}$

Nein das stimmt nicht. Es ist $\begin{eqnarray*} \ln 2 \neq 0.6931 \end{eqnarray*}$

27.10.2009, 19:49

Whats-that

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eig wollte ich gerade schreiben, dass ich es verstanden habe aber jezz wurde ich wieder verwirrt.

Zitat:

Nein das stimmt nicht. Es ist $\begin{eqnarray*} \ln 2 \neq 0.6931 \end{eqnarray*}$

sry versteh ich nicht

27.10.2009, 19:58

Rumpfi

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$\begin{eqnarray*} \ln2 = 0,6931 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \log2 = 0,3010 \end{eqnarray*}$

Ich habs ausgerechnet mit dem Taschenrechner, außer, es heißt $\begin{eqnarray*} \log \end{eqnarray*}$ entspricht $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ , dann ist das ein Irrtum von mir

27.10.2009, 19:59

Q-fLaDeN

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Du kannst mir ruhig glauben, dass

$\begin{eqnarray*} \ln2 \neq 0,6931 \end{eqnarray*}$

ist.

$\begin{eqnarray*} \ln 2 \end{eqnarray*}$ ist transzendent, und somit nicht als Dezimalzahl darstellbar. Das selbe gilt also auch für $\begin{eqnarray*} \log 2 \end{eqnarray*}$

27.10.2009, 20:04

Whats-that

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okay vielen dank an alle
jezz nur noch mal zum verständnis

$\begin{eqnarray*} f(x)= 2^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x) =e^{ln(2)x}*ln2*ln2*ln2 \end{eqnarray*}$

27.10.2009, 20:04

Rumpfi

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also das ist der Grund. Ich verwend immer $\begin{eqnarray*} \log \end{eqnarray*}$ für 10er-Potenzen und $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ für e-Funktionen, um so auf die unbekannte x-Potenz zu kommen.

Habs mir immer so gedacht: $\begin{eqnarray*} \log1000 = 3 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} 10^{3} = 1000 \end{eqnarray*}$ .

Aber danke, dass du mich aufklärst

27.10.2009, 20:23

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von Whats-that
$\begin{eqnarray*} f(x)= 2^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x) =e^{ln(2)x}*ln2*ln2*ln2 \end{eqnarray*}$

Genau. Allgemein ist die n-te Ableitung einer Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = a^x \quad a>0 \end{eqnarray*}$

gleich

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x) = \ln^n(a) \cdot a^x \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Rumpfi
Habs mir immer so gedacht: $\begin{eqnarray*} \log1000 = 3 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} 10^{3} = 1000 \end{eqnarray*}$

Das ist ja auch richtig. Aber tippe mal $\begin{eqnarray*} e^{0.6931} \end{eqnarray*}$ in den Taschnrechner ein, du wirst sehen, dass nicht $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ rauskommt.

28.10.2009, 10:29

Rumpfi

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN

Das ist ja auch richtig. Aber tippe mal $\begin{eqnarray*} e^{0.6931} \end{eqnarray*}$ in den Taschnrechner ein, du wirst sehen, dass nicht $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ rauskommt.

Da geb ich dir recht, hab folgendes Rausbekommen:

$\begin{eqnarray*} e^{0.6931} = 1.999905641 \end{eqnarray*}$

liegt vielleich daran, dass ich nur 4 Dezimalstellen angegeben habe.

28.10.2009, 15:26

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von Rumpfi
liegt vielleich daran, dass ich nur 4 Dezimalstellen angegeben habe.

Wie schon gesagt, man kann das nicht als Dezimalzahl schreiben!

Du hast also unendlich viele Nachkommastellen vergessen.

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