Markovkette,abschätzung

28.09.2006, 01:14	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Markovkette,abschätzung Also erstmal die Vorrausetzungen. Wir haben eine irreduzible $\begin{eqnarray} (\alpha,P)-MK \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} i \in S \end{eqnarray}$ sei aperiodisch. In einem Satz wird benutzt das $\begin{eqnarray} (p_{ii})^{m+n} \geq p_{ii}^{m}p_{ii}^{n} \end{eqnarray}$ ist. Ich konnte es mir an einigen Beispielen klar machen aber ich habs nicht geschafft es zu zeigen. Irgendwie fehlt mir da das Argument. Das heißt ja Eigentlich das ich wenn ich m+n Schritte gehe es wahrscheinlicher ist zu i zurückzukommen als wenn ich einmal m und einmal n Schritte gehe. Ansich ist das ja so klar weil ja i aperdiodisch ist, nur zeigen müsst mans
28.09.2006, 09:40	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich von $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} (m+n) \end{eqnarray}$ Schritten will, bin ich zum Zwischenzeitpunkt $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ an irgendeinem Zustand $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ . Ich gelange also von $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ Schritten, und dann von $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Schritten. Die Summation über alle in Frage kommenden $\begin{eqnarray} j\in S \end{eqnarray}$ ergibt dann $\begin{eqnarray} p_{ii}^{m+n} = \sum_{j\in S} p_{ij}^m p_{ji}^n \end{eqnarray}$ Nennt man auch Chapman-Kolmogorov-Gleichungen (diskreter Fall) - merke gerade, da fehlt mal eine deutsche Wikipedia-Seite. Wenn mein Privat-PC wieder ganz ist, kümmre ich mich mal drum. Diese Summe kann man jetzt natürlich nach unten abschätzen, indem ich nur den Summand $\begin{eqnarray} j=i \end{eqnarray}$ berücksichtige: $\begin{eqnarray} p_{ii}^{m+n} = \sum_{j\in S} p_{ij}^m p_{ji}^n \geq p_{ii}^m p_{ii}^n \end{eqnarray}$ . Bildlich gesprochen: Ich berücksichtige nur den Weg von $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ , der nach $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ Schritten auch über $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ führt. Periodizität oder Aperiodizität usw. spielen dabei überhaupt noch keine Rolle, das ist allgemeingültig.
28.09.2006, 09:50	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne das jetzt nachgerechnet zu haben... ... ist $\begin{eqnarray} p_{ii}^n \end{eqnarray}$ ja das $\begin{eqnarray} (i,i) \end{eqnarray}$ -te Element der $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -ten Potenz der Übergangsmatrix. Folgt die Ungleichung nicht (mehr oder weniger) einfach aus den "Matrixmultiplikationsregeln"? Ein anderer Zugang wäre evtl. über von Markov-Ketten erzeugte Halbgruppen. Das funktioniert prima im homogenen Fall (welcher wegen deiner Notation offenbar vorliegt). Die Halbgruppe sieht dann so aus: $\begin{eqnarray} (\mathbb{T}_tf)(i)=\sum_{j=0}^\infty f(j)p_{ij}^{(t)} \end{eqnarray}$ Wobei $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eine beschränkte Zahlenfolge ist. Edit: Sehe grad in der Vorschau, dass Arthur den Nagel wieder mal mitten auf den Kopf getroffen hat, aber ich lass es trotzdem mal stehen.
28.09.2006, 10:16	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, na klar nach Chapman-Kolgomorov ist das natürlich sehr einsichtig. Danke

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