Beweis von Gruppen in der Lineare Algebra

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Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis von Gruppen in der Lineare Algebra
Hallo liebe Matheboarder,
Ich habe folgendes Problem und zwar geht es darum ,dass ich einen Beweis bezüglich einer Gruppe machen soll. Die Aufgabenstellung ist folgende (ist im Anhangbeigefügt):


Zu ii und iii habe ich folgende Lösungen:


ii)

--> somit ist für ii) bewiesen, dass das Assoziativ Gesetz in dieser möglichen Gruppe gilt.


iii)
und mein neutrales Element ist




Nun zu meinen Problemen:

Zu i) hab ich gar keinen Lösungsansatz, hier weis ich nicht mal was gezeigt werden soll.

Zu iv) hier soll das linksinverse Element gefunden werden. Weshalb ich so begonnen habe:

Aus iii) geht hervor dass ist somit ergibt sich folgendes:


<--> (die sollen selbstverständlich kringel sein)
so und hier hänge ich nun und weis nicht mehr wie es weiter gehen soll, Geschwiege denn weis ich nicht ob das ,mit der schlussfolgerung richtig ist. Dazu muss ich sagen, dass ich mit dem Gruppenbegriff und den Axiomen noch nicht wirkllich was Anfangen kann. Bin gerade im ersten Semester und studiere unter anderem Mathematik auf Lehramt Gym. Über kleine Hilfestellungen, die mir helfen den Weg zum Ziel zu finden würde ich mich freuen.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal zu 4): Abgesehen davon, dass diese Gruppe kommutativ ist, ist auch für jede nichtkommutative Gruppe .

Dein Ansatz ist richtig, du musst jetzt nur noch nach den vorgegebenen Rechenregeln das inverse Element bestimmen. Tipp zur Kontrolle: Dass die -1 aus der Menge ausgenommen wird, hat hier einen erkennbaren Sinn.

Zu 1) Du musst zeigen, dass das neue Element wieder in liegt. Verwende dazu die Definition deiner Verknüpfung .
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Mhhh also stehe irgendwie am Schlauch verwirrt

hab jetzt statt
gesetzt. aber ist das so richtig? weil wenn ich das so mache, dann komme ich wieder nicht weiter. denn dann habe ich im nächsten schritt oder? das kann ich dann weiter zu umformen.Aber dann würde für mich nicht erkenntöich werden warum R \ {-1} sinn machen sollte verwirrt
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Du machst den Fehler zu denken, dass , aber ist das neutrale Element bezüglich ! Vielleicht hilft es, es anders zu bezeichnen. Forme nun nach um, mit Hilfe der üblichen Rechenregeln für in .
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

also könnte ich für auch setzen? wodurch dann entsteht. Somit hab ich dann verstehe ich das richtig? Aber wieder endet bei mir alles in einer Sackgasse ich glaube ich verstehe das nicht so richtig mit dem inversen Element.

Also wenn ich das so rechne, dann hab ich am Ende raus aber das Ergebnis ist
doch garantiert von abhängig oder?
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Oder doch ich glaube ich habe die Lösung habe total falsch gerechnet in der letzten Antwort. Also habe jetzt folgendes:

ich habe jetzt gesetzt (ist hoffentlich möglich). dann habe ich folgendes was laut definiion dann so aussieht . nun habe ich gerechnet somit folgt: . über ausklammern von entsteht. wenn ich jetzt rechne, dann folgt: . Somit dürfte ich in die gleichung nicht einsetzten da man in nicht durch teilen darf. stimmt es so?
 
 
jester. Auf diesen Beitrag antworten »



Wo liegt da das große Problem? unglücklich

Nachtrag: Da hast du es ja doch noch geschafft. Damit kannst du jetzt natürlich auch die zu lösende Gleichung bearbeiten.
MAtheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Ok gut dann bin ich jetzt zufrieden mit der iv) Freude

Und was mache ich dann in i)? Da habe ich gar keinen Anfang und keine Ahnung wie oder was ich was beweisen soll.
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

keiner mehr da der mir hier noch helfen kann? geschockt
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Die Kontraposition sollte ganz gut gehen. Zeige also anstelle von einfacher .
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt also ich soll zeigen, dass liegt. Das könnte ich ja dann mit dem Inversenelement machen. oder verstehe ich das auch wieder falsch weil alle anderen sind ja .
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Das verstehst du falsch. Deine eigentliche Aufgabe ist es, zu zeigen, dass unter der Voraussetzung gilt, dass ebenfalls wieder in liegt. Da mir da aber auf die Schnelle nichts schlaues eingefallen ist, zeige ich, dass aus dem Gegenteil dessen, was ich zeigen soll, das Gegenteil dessen, was ich vorgegeben habe, folgt. Das ist die so genannte Kontraposition. Dass die eigentliche Aussage und ihre Kontraposition logisch äquivalent sind, sollte bekannt sein, bzw. wenn du gerade mit dem Studium begonnen hast, sollte das bald vorkommen.

Ich nehme jetzt also an, dass ist, was in anderen Worten einfach heißt, dass .





Also ist b nicht in der Gruppe enthalten. Kannst du den Beweis vervollständigen? Der Beweis für a geht dann analog und damit wären wir fertig.
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich weis was du meinst... Allerdings so richtig verstehen tue ich es nicht. Könnte es jjetzt machen indem ich das selbe in grün nochmal für mache. aber einleuchten wird es mir dann nicht. traurig Also ich zeige einfach das gegenteil. Aber könnte ich nicht auch setzen? wodurch ja dann wieder eine ahre aussage entstehen würde. verwirrt der nicht? dann hätte ich wahrscheinlich aber nicht allgemein bewiesen, dass alles außer in gelten oder?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube du übersiehst, dass gerade die -1 nicht in G liegt. Wenn b also -1 ist, liegt b automatisch nicht in G.

Und wie willst du "das selbe in Grün" für a denn machen? Vervollständige erstmal den Beweis für b!
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Aso ist noch nicht fertig, verstehe bzw ich verstehe es nicht. Wuie soll ich denn jetzt den Beweis für beenden?DEnn ich habe ja hier nur noch da stehen.Oder müsste ich jetzt nach und nach in die Ergebnisse einsetzen die ich bei ii), iii) und iv) raushabe? verwirrt Ne das wäre ja zu einfach.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich hatte mir einfach gewünscht, dass du den Beweis vervollständigst, indem du die Lücken (Pünktchen) schließt. Aber ich werde langsam ein bisschen müde, also kommts jetzt hier:



Das Analogon für a sollte jetzt aber wirklich kein Problem mehr darstellen.

Edit: Falls es dir irgendwie entgeht: Das ist einfaches Rechnen in den reellen Zahlen!
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, hab deinen Post gestern aben nicht mehr gesehen, weil er auf einer neuen Seite gelandet ist. Ich bedanke mich dann hiermit für deine Mühen mir dabei zu helfen Gott Freude
Werde mich jetzt noch ein wenig mit der Aufgabe hier beschäftigen, damit ich das auch hoffentlich alles verstehe.
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