Monoide und Gruppen

27.10.2009, 20:48	Scharo	Auf diesen Beitrag antworten »
Monoide und Gruppen Hi Leute, ich habe hier eine kleine verständnisfrage. Zum einen...bedeutet $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{18} \end{eqnarray}$ mit der Addition modulo 18, dass die 0 NICHT in $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{18} \end{eqnarray}$ drinn ist, bzw. woran erkenne ich, ob die 0 mitdabei ist oder nicht? Falls die 0 mitdabei ist, ist $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{18} \end{eqnarray}$ mit der Addition modulo 18 doch ein Monoid oder? Würd mich über eine kleine erläuterung freuen.
27.10.2009, 22:13	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube du wirfst da etwas durcheinander. Mit der Addition mod 18 ist $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/18\mathbb{Z}:=\{[x]_{18}~\|~0\leq x \leq 17\} \end{eqnarray}$ eine Gruppe. Natürlich ist jede Gruppe auch ein Monoid, so gesehen hast du also Recht. Und die Null ist auf jeden Fall immer in der Menge enthalten, vgl. die Definition über die Reste bei Division: alle $\begin{eqnarray} z\in 18\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ lassen bei Division durch 18 den Rest 0, somit muss die $\begin{eqnarray} [0] \end{eqnarray}$ also als Restklasse vorkommen.
27.10.2009, 22:34	Scharo	Auf diesen Beitrag antworten »
Monoide und Gruppen Vielen dank für deine schnelle antwort. Kannst du mir auch einen ansatz zeigen, wie genau ich die assoziativität in $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{18} \end{eqnarray}$ zeigen kann? Ich kann ja nicht einfach drei Elemente aus $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{18} \end{eqnarray}$ nehmen (a,b,c) und sagen es ist assoziativ, weil (a+b)+c=a+(b+c) gilt. Woher weiß ich das das gilt?
27.10.2009, 22:40	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
In den Restklassenringen definiert man die Addition einfach über $\begin{eqnarray} [a]+[b]:=[a+b] \end{eqnarray}$ . Mit dieser Definition lässt sich recht einfach die Assoziativität zeigen.
27.10.2009, 22:42	Scharo	Auf diesen Beitrag antworten »
Monoide und Gruppen 1 A Vielen lieben dank dir jetzt ist alles klar

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