Beweis: Der Quotient aus x+a und x+b ist nicht in der Menge Q

27.10.2009, 21:44

thorbb

Beweis: Der Quotient aus x+a und x+b ist nicht in der Menge Q

Hallo,

wie schon im Thema erwähnt, geht es um einen Beweis, den ich rechnerisch nicht hinkriege. Die Aufgabe ist folgendermaßen:

Seien a,b aus Q (Menge der rationalen Zahlen) mit a ungleich b. Zeigen Sie:

Ist x aus R ohne Q , so ist auch (x+a)/(x+b) aus R ohne Q.

Ich finde die Aussage zwar logisch: x+a kann nicht aus Q sein, da x nicht in Q ist, a aber schon. x+b kann nicht in Q sein, da x nicht in Q ist, a aber schon. Also kann auch der Quotient aus den beiden Summanden, die beide nicht aus Q sind, nicht aus Q sein.

Nun sollen wir aber alles was wir sagen mit Sätzen und Definitionen belegen. Wir haben aber beide "Sätze" die ich oben benutzt habe (Summanden sind nicht in Q, Quotient ist nicht in Q" noch nicht definiert. Vor kurzem wurde die Induktion eingeführt, kann man damit weiterkommen?

Als Tip steht unter der Aufgabe, man solle einen Widerspruchsbeweis machen. Deshalb habe ich auch schon versucht durch Umformung die Gleichung
(x+a)/(x+b) = p/q ; p aus Z, q aus N zu einem Widerspruch wie zum Beispiel a = b zu führen. Das ist mir aber nicht gelungen. Ich hoffe auf Anregungen^^ Gott

27.10.2009, 21:57

milka123

Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

wir sollten mal beweisen dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ keine rationale Zahl ist.
Also $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \neq \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p \in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q \in \mathbb N, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ teilerfremd (da man sonst noch weiter kürzen könnte)

Es kam dann raus, dass p und q nur gerade Zahlen sein können.
Also beide durch die Zahl 2 teilbar, d.h. sie sind nicht teilerfremd, und damit hat mans dann widerlegt.

Vielleicht hilft dir das ja ein bisschen ^^

28.10.2009, 07:56

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis: Der Quotient aus x+a und x+b ist nicht in der Menge Q

Zitat:

Original von thorbb
x+b kann nicht in Q sein, da x nicht in Q ist, a aber schon. Also kann auch der Quotient aus den beiden Summanden, die beide nicht aus Q sind, nicht aus Q sein.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{8} \not \in \mathbb{Q} \, , \ \sqrt{2} \not \in \mathbb{Q} \, ; \ \ \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = 2 \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

Eigentlich brauchst du zum Beweis nur, daß $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ein Körper, insbesondere also bezüglich der Grundrechenarten Addition/Subtraktion, Multiplikation/Division abgeschlossen ist. Nimm an, daß

$\begin{eqnarray*} \frac{x+a}{x+b} = c \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

gilt, und löse diese Gleichung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auf. Dann kannst du das oben genannte Prinzip verwenden. (Und wo geht die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} a \neq b \end{eqnarray*}$ ein?)

28.10.2009, 09:22

thorbb

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schon mal, werd ich noch mal versuchen. Meine Quotientenfolgerung hinkt also noch ein bisschen...^^

Dass a ungleich b ist, geht aus der Aufgabenstellung hervor:

Seien a,b aus Q (Menge der rationalen Zahlen) mit a ungleich b. Zeigen Sie:
...

Sonst wäre die Behauptung ja auch nicht wahr, da

x+a/x+b , (a=b) ja 1, und damit aus Q wäre.

28.10.2009, 09:42

thorbb

Auf diesen Beitrag antworten »

ah ja danke ich glaub ich habs.

habe wie du gesagt hast nach x aufgelöst, und dann stand da:

x = (cb-a)/(1-c)

da c,b,a,1 alle aus Q sind, is der Quotient laut Abgeschlossenheit auch aus Q. Dann müsste aber laut Gleichung auch x auch Q sein, und das widerspricht der Voraussetzung.

Wenn ich durch (1-c) teile kann ich ausschließen, dass ich durch 0 teile, da c ungleich 1. Wäre c nämlich 1, dann wäre auch (x+a)/(x+b) = 1 und damit a = b, das widerspräche aber der Behauptung.

Gibt es einen Satz, mit dem ich die Folgerung dass a = b sein müsste belegen kann?

Ich bin irgendwie gar nich darauf gekommen nach x zu lösen, habe immer versucht a und b näher zu bestimmen... Danke sehr!

28.10.2009, 13:35

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von thorbb
Gibt es einen Satz, mit dem ich die Folgerung dass a = b sein müsste belegen kann?

Ich verstehe das Problem nicht. verwirrt

Ansonsten stimmt deine Argumentation. Freude

Neue Frage »

Antworten »

Beweis: Der Quotient aus x+a und x+b ist nicht in der Menge Q

Verwandte Themen