Analyse von Folgen

27.10.2009, 23:31

Sonic22

Ich hätte da noch eine Folge:

an = $\begin{eqnarray*} \frac{2n+1}{4n} \end{eqnarray*}$

Die Folge ist monoton fallend, also

an+1<an

Ich multipliziere das ganze mit (4n) links

$\begin{eqnarray*} \frac{8n^2+4n}{4n} \end{eqnarray*}$ <2n+1

multiplizieren mit 4n

8n^2+4n+4n<8n^2+4n
4n<0

Stimmt das so?

27.10.2009, 23:52

MLRS

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Zitat:

Original von Sonic22
Ich hätte da noch eine Folge:

neue Folge - neuer Thread

Zitat:

Original von Sonic22
Die Folge ist monoton fallend,

das stimmt

Zitat:

Original von Sonic22Stimmt das so?

tut mir leid, ich verstehe nicht, wie du da gerechnet hast

Du willst
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}<a_n \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \frac{2(n+1)+1}{4(n+1)}<\frac{2n+1}{4n} \end{eqnarray*}$

zeigen.

Aber das Ganze ist einfacher, wenn du $\begin{eqnarray*} \frac{2n+1}{4n} \end{eqnarray*}$
so anschreibst:
$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{2n}{4n}+\frac{1}{4n}=\frac 1 2 +\frac{1}{4n} \end{eqnarray*}$

Kaum unterschied zur vorigen Aufgabe.

Ich bin ab jetzt weg - versuchs jetzt erstmal selbst smile

28.10.2009, 20:19

Sonic22

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Ok dann multipliziere ich mit dem nenner der linken seite (4n+4):

2n+3< $\begin{eqnarray*} \frac{1*(4n+4)}{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + \frac{1*(4n+4)}{4n} \end{eqnarray*}$
2n+3<4n+4+4
0<2n+5

28.10.2009, 20:30

MLRS

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Du kannst auch einfach eine ganze zeile zwischen die latex-tags setzen Augenzwinkern

Zitat:

Original von Sonic22
$\begin{eqnarray*} 2n+3<\frac{1*(4n+4)}{2} + \frac{1*(4n+4)}{4n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2n+3<4n+4+4 \end{eqnarray*}$

Wie kommst du auf das?

$\begin{eqnarray*} 2n+3<\frac{(4n+4)}{2} + \frac{(4n+4)}{4n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2n+3<\frac{2(2n+2)}{2}+\left(\frac{4n}{4n}+\frac{4}{4n}\right) \end{eqnarray*}$

...

28.10.2009, 20:35

Sonic22

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Ja stimmt aus Summen darf man nicht kürzen...

2n+3<2n+2+1/n
2n^2+3n<2n+3

...

scheint wieder falch zu sein...

28.10.2009, 20:54

MLRS

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Augen aufmachen!

$\begin{eqnarray*} 2n+3<2n+2+1+\frac{1}{n} \quad\quad \quad |-2n-3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0<\frac {1}{n} \end{eqnarray*}$

Damit ist was bewiesen?

Was machst du als nächstes?

28.10.2009, 21:15

Sonic22

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Peinlich wie ich mich dauernd verrechne...

Bewiesen ist jetzt das die Folge monoton fallend ist.

Als nächstes sollte ich die Berschränktheit prüfen und dann die Konvergenz beweisen.

28.10.2009, 21:18

MLRS

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Zitat:

Original von Sonic22
Als nächstes sollte ich die Berschränktheit prüfen und dann die Konvergenz beweisen.

Wenn Monotonie und Beschränkheit gezeigt ist, dann folgt daraus die Konvergenz !

Passende Schranken zu finden sollte hier nicht so schwer sein.

Bitte auch gleich Begründung dazu liefern

29.10.2009, 21:59

Sonic22

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So nachdem ich gestern in dne falschen Thread gepostet versuche ich es nochmal:

Also ich will zeigen, dass die Folge beschränkt ist als nächstes und wähle 0,4 als SChranke.

an<0,4

ich multipieziere mit dem nenner:

2n+1<1,6n
0,4n<-1
n<-0,25

?

30.10.2009, 09:04

klarsoweit

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Zitat:

Original von Sonic22
Also ich will zeigen, dass die Folge beschränkt ist als nächstes und wähle 0,4 als SChranke.

Als obere oder als untere Schranke? Da a_1 = 3/4 ist, ist 0,4 als obere Schranke für die komplette Folge ungeeignet. smile

30.10.2009, 12:35

Sonic22

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Ich will die untere Schranke wählen, die Folge scheint ja gegen 0,5 zu konvergieren. Würde sich als obere Schranke 2 anbieten? die obere Schranke würde ja auch ausreichen, um zu zeigen, dass die Folge beschränkt ist und somit konvergiert, monotonie liegt ja auch vor.

2n+1<8n
1<6n
1/6<n

?

30.10.2009, 12:38

klarsoweit

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Zitat:

Original von Sonic22
1/6<n

Warum das "?" ? Stimmt obige Ungleichung? Oder anders gefragt: gibt es irgendwelche n, für die das nicht gilt?

30.10.2009, 12:43

Sonic22

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Ja, also die Ungleichung sollte stimmen.

30.10.2009, 12:58

klarsoweit