De l'Hospital

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28.10.2009, 17:15	NGL	Auf diesen Beitrag antworten »
De l'Hospital Hallo Bin bei einer Aufgabe am verzeifeln: Berechnen sie den Granzwert, wenn möglich: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } \frac{\left[ln(x)\right]^{a}}{x^{b} } \end{eqnarray}$ , a > 1, 0 > b > 1 habe das versucht mit de L'Hospital zu machen: Ich erhalte auch nach den zweiten mal Ableiten keinen Grenzwert, sondern immernoch etwas von der Form $\begin{eqnarray} \frac{\infty }{\infty } \end{eqnarray}$ . Habe mit dem Taschenrechner ein drittes mal abgeleitet und auch dann keinen Grenzwert berechenen können. Stimmt das, dass man hier keinen Grenzwert berechnen kann? Falls ja, wie beweise ich, dass man das wirklich nicht kann? Oder habe ich da etwas total falsch gerechnet?
28.10.2009, 17:18	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: De l'Hospital Ist dir beim manuellen Ableiten denn nichts aufgefallen?
28.10.2009, 17:31	NGL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: De l'Hospital Es war sehr mühsam nein im ernst, was hätte mir denn auffallen sollen? Aber kann ich die Aufgabe mit den Voraussetzungen von de L'Hospital lösen? Also: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to o} f(x) = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{x \to o} g(x) = 0 \end{eqnarray}$ Hier also: \lim_{x \to 0} ln(x)^{a}\neq 0 Somit kann man de l'Hospital nicht anwenden. Korrekt?
28.10.2009, 17:34	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: De l'Hospital Schreib mal die erste, evlt. noch die zweite Ableitung auf.
28.10.2009, 17:34	NGL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: De l'Hospital Sorry, hab den Schluss vermasselt. So wirds lesbar: Also: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to o} f(x) = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{x \to o} g(x) = 0 \end{eqnarray}$ Hier also: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} ln(x)^{a}\neq 0 \end{eqnarray}$ Somit kann man de l'Hospital nicht anwenden. Korrekt?
28.10.2009, 17:37	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: De l'Hospital Die Frage ist ja für x gegen unendlich und nicht gegen 0. Und für unendlich geht ln(x) gegen unendlich, so wie x.
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28.10.2009, 17:50	NGL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: De l'Hospital das klingt eigentlich logisch. Aber ich schaffe das nicht, was ich in der zweiten Ableitung erhalten habe mit latex zu schreiben, da der Ausdruck nicht wirklich klein ist. Aber ist von der Form (.....) / b(b-1). habe es versucht ich versuche es aber gleich nochmal.
28.10.2009, 17:54	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: De l'Hospital $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } \frac{\left[ln(x)\right]^{a}}{x^{b} } = \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{a}{x}\left[ln(x)\right]^{a-1}}{b\cdot x^{b-1} } = \lim_{x \to \infty } \frac{\left[ln(x)\right]^{a-1}}{bx^{b} } \end{eqnarray}$ Hattest du das auch so?
28.10.2009, 17:58	NGL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: De l'Hospital Also erste Ableitung: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } \frac{aln(x)^{a-1}x^{-1}}{bx^{b-1} } \end{eqnarray}$ Zweite Ableitung: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } \frac{-aln(x)x^{a-2}(ln(x)-a+1)x^{-b}}{b(b-1)} \end{eqnarray*}$
28.10.2009, 17:59	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: De l'Hospital Schau dir meine Ableitung an, du siehst, man kann das x in den Nenner ziehen und hat dann fast die gleiche Ausgangslage, außer ein konstanter Faktor a/b davor und der Exponent von ln(x) hat sich um 1 verringert.
28.10.2009, 18:16	NGL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: De l'Hospital Ich denke, dass ich deine Umformungen verstanden habe, aber was kann ich daraus schlussfolgern? Dass mann immer einen Bruch haben wird der Form $\begin{eqnarray} \frac{\infty }{\infty } \end{eqnarray}$ und somit kein Grenzwert existiert? Meine anderen Aufgaben waren nicht so schwer, aber hier peile ich das nicht wirklich...
28.10.2009, 18:17	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: De l'Hospital Wie sieht es denn aus, wenn du es a mal machst? Edit: Da es jetzt wichtig wird, hab ich mir die Definition von a und b genauer angesehen: "0 > b > 1", ist wirklich verlangt dass 0 > 1 ist?
28.10.2009, 18:31	NGL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: De l'Hospital Wenn ich das a mal mache, dann habe ich ln(x)^0 und das ist =1
28.10.2009, 18:32	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: De l'Hospital Und der Rest lautet dann? Gibt paar Koeffizienten und noch einen Nenner
28.10.2009, 18:35	NGL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: De l'Hospital Natürlich nicht, mein Fehler: Sollte 0<b<1 sein. Der Nenner bleibt immer unendlich. Ist es $\begin{eqnarray} \frac{1}{\infty } \end{eqnarray}$ ? Ist das dann 0?
28.10.2009, 18:39	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: De l'Hospital So, bloss nicht überelig werden, wir sind doch schon fast am Ziel. Glaub mir, es hatte nen guten Grund warum ich wollte dass du alles nochmal aufschreibst, in 85% der Fälle quäl ich Leute nicht, nur weil ich gerade Lust dazu hab Was mir aufgefallen ist: a müsste eine natürliche Zahl sein, sonst wird das hier wohl nichts.
28.10.2009, 19:04	NGL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: De l'Hospital Also habs mir nochmals überlegt: im Zähler müsste übrigbleiben: 1(a-1)(a-2)...(a-a-1) und im Nenner: b(b-1)(b-2)...(b--a-1) * x^(b-a-1) das müsste man doch irgendwie als Summe schreiben können...
28.10.2009, 19:12	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: De l'Hospital Die meisten der Terme sind konstant, du hast aber einen Fehler beim Exponenten von x gemacht, der mir zugegeben auch in Gedanken passiert ist. Der Exponent von x bleibt immer b, und damit sind auch die Koeffizienten immer wieder b. Zum Schluss hast du also $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} \frac{a!}{b^a \cdot x^b} \end{eqnarray}$ Nun kannst du den Grenzwert bilden, du musst nur etwas beachten wo b liegt, weil du je nachdem damit begründen musst.
28.10.2009, 19:18	NGL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: De l'Hospital Hey, danke dir vielmals für deine Geduld. Echt genial von dir. Danke, danke, danke.

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