Alle Planeten sind bewohnt |
| 28.10.2009, 18:47 | sin(x²)= 99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Alle Planeten sind bewohnt Finden Sie den Fehler im folgenden „Beweis“ dafür, dass der Mars bewohnt ist: Satz: Wenn in einer Menge von n Planeten einer bewohnt ist, dann sind alle bewohnt. Beweis mittels vollständiger Induktion: n = 1: trivial n -> n + 1: Laut Annahme sind von einer Menge von n Planeten alle bewohnt, sobald nur einer bewohnt ist. Nun betrachten wir eine Menge von n+1 Planeten (die wir willkürlich mit p1 bis pn+1 bezeichnen). Von diesen schließen wir vorläufig einen aus unsere Betrachtungen aus, z. B. pn+1. Wenn von der übriggebliebenen Menge von n Planeten nur einer bewohnt ist, sind laut Annahme alle bewohnt. Nun schließen wir von den n bewohnten Planeten einen aus, z. B. p1, und nehmen pn+1 wieder hinzu. Wir erhalten wieder eine Menge von n Planeten, die bis auf pn+1 alle bewohnt sind. Auf jeden Fall ist einer bewohnt, demnach alle, also ist auch pn+1 bewohnt. Wo ist der Fehler? |
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| 28.10.2009, 19:10 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Über das rotgefärbte würde ich nochmal nachdenken. Noch ein kleiner Tipp: Wenn die Aussage für n=2 gelten würde, wäre sie tatsächlich für alle natürlichen Zahlen wahr. |
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| 28.10.2009, 19:14 | sin(x²)= 99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die sache ist ja die, es gibt endlich viele Planeten^^ |
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| 28.10.2009, 19:18 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Darum sollen sich die Leute im Physikerboard streiten...Und darum geht es auch nicht in der Aufgabe. Man könnte die Aussagen auch umformulieren um von den Planeten wegzukommen. Wenn in einer Menge von n Objekten eine Aussage A für ein Objekt gilt, so gilt es für alle . Objekt = Planet Aussage A = Planet ist bewohnt Schau dir nochmal mein Tipp an. Ab n=2 würde der Beweis so klappen. Im Umkehrschluss muss also was falsch sein? |
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| 28.10.2009, 19:20 | sin(x²)= 99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wenns nur ab n = 2 klappt, dann müsste es ab n = 1 falsch sein, also wenn die erde bewohnt ist dann ist nicht der Mars (n+1) bewohnt... |
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| 28.10.2009, 19:49 | sin(x²)= 99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah jetzt verstehe ich das !! wenn wir p1 rausnehmen aus der Menge würde die Induktionsverankerung nicht mehr stimmen. Induktionsverankerung: n = 1 Wenn p1 raus ist, dann kann n nur bei 2 beginnen, also: n = 2 Das ist der Widerspruch. q.e.d |
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| 29.10.2009, 07:29 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist nicht gut formuliert. Mache doch lieber ganz konkret klar, dass der Induktionsschritt nicht für den Schritt von 1 auf 2 klappt. |
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| 29.10.2009, 16:50 | sin(x²)= 99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wieso klappt der induktionschritt von n = 1 auf n+1 nicht?? wir sagten doch, wenn ein planet bewohnt ist also n = 1 => die Erde, dann ist n+1 auch bewohnt... |
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| 29.10.2009, 17:45 | Manus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
n Personen im Raum : Gegenbeweis einer vollständigen Induktion In diesem Thread geht es um genau das gleiche Problem. Ersetze in meinem Post "Person" durch "Planet" und "Geschlecht" durch "Bewohntheit". |
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| 02.10.2022, 19:58 | HiBee123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Matheboard, ich bin zufällig auf den "Beweis" gestoßen, das der Mars bewohnt ist, der eine Folgerung dieses Beweises ist, das alle Planeten bewohnt sind. Sehe ich das richtig, dass der Fehler hierbei ist, das man mit n=1 startet, statt mit n=2 ? Gruß. eure HiBee. |
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| 02.10.2022, 20:01 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ist kein Fehler, dass man mit startet. Das Problem ist, dass der Induktionsschritt für nicht klappt und man somit nicht folgern kann. Sobald bewiesen wäre, würde man den Rest folgern können. |
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| 02.10.2022, 20:04 | HiBee123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach okay. Danke 
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| 02.10.2022, 20:15 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Um den Beweis zu retten, müsste man also eine von zwei Sachen machen: Den Induktionsschritt verbessern, so dass er auch für klappt, oder man beweist per Hand. Beides wird nicht gelingen, weil die Aussage falsch ist. |
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| 03.10.2022, 11:01 | HiBee123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja. wir hatten den Beweis auch als Paradebeispiel, das man bei vollständiger Induktion vorsichtig sein soll, weil sonst kompletter Mist dabei rauskommt. Ganz verstanden hab ich ihn allerdings nicht. In meinen Ohren klingt schon der Induktionsschritt Schwachsinnig. Nur weil ein Planet bewohnt ist (oder eine Person in einem Raum eine bestimmte Größe hat) heißt das ja lange nicht, das alle Planeten bewohnt sind (oder alle Personen in demselben Raum dieselbe Größe haben)... |
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| 03.10.2022, 13:23 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es macht in der Realität keinen Sinn, deswegen ist das Beispiel so anschaulich. Die Aussage wäre aber zum Beispiel richtig in einem Universum, wo sich Leben instantan ausbreitet. D.h. sobald sich Leben entwickelt, existiert es sofort auf allen Planeten. Ein etwas moderenes Beispiel wäre "Wenn eine Person im Raum Corona infiziert ist, sind alle Personen im Raum Corona infiziert.". Hier wirkt es schon weniger klar, warum es falsch ist. |
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| 03.10.2022, 15:01 | HiBee123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja okay, Danke. Das macht das Ganze schon etwas klarer. Hättest du vielleicht noch ein etwas abstrakteres Zahlenbeispiel, wo die Induktion so schief geht? 
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| 03.10.2022, 15:14 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
"In einer -elementigen Menge ganzer Zahlen sind alle Zahlen Teiler voneinander". Für trivial und der Induktionsschritt folgt mit der Transitivität der Teilbarkeit. |
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| 03.10.2022, 16:35 | laila49 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
man kann mit dieser Methode auch den Satz beweisen: "alle Zahlen sind gleich". Die fleißige Anwendung dieses Satzes erspart dem Mathematiker viel Arbeit. |
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| 04.10.2022, 19:49 | HiBee123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja das stimmt 
Dieser Beweis macht in der Tat einiges leichter , haha |
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| 05.10.2022, 11:54 | HiBee123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Insbesondere folgt daraus, dass gleich 1 ist und somit nicht nur rational, sondern sogar eine natürliche Zahl ist
p.s.: Ich muss aufhören darüber nachzudenken, sonst glaub ich den Schmarrn noch irgendwann... |
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