Quadratische Gleichungen umstellen für Mitternachtsformel

28.10.2009, 19:50

zettu

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Quadratische Gleichungen umstellen für Mitternachtsformel

Hallo zusammen,

wie ich im Titel schon beschrieben habe, versuche ich mich an ein paar Aufgaben, bei dennen es darum geht, quadratische Gleichung nach 0 umzustellen und bruchfrei zu machen (denk ich doch) und dann mit der Mitternachtsformel zu lösen.

So lautet die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{3x-1}{x+2} + \frac{2x-2}{x-2} = \frac{8}{x²-4}<br /> \end{eqnarray*}$

Das ist mein Lösungsansatz:

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{(x-2)(3x-1)}{(x+2)(x-2)} + \frac{(2x-2)(x+2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{8}{(x+2)(x-2)}<br /> \end{eqnarray*}$

Dann Ausklammern:

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{3x² -1x -6x +3 +2x² +4x -2x - 4}{(x+2)(x-2)} = \frac{8}{(x+2)(x-2)}<br /> \end{eqnarray*}$

Zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{5x² -5x -1}{(x+2)(x-2)} = \frac{8}{(x+2)(x-2)}<br /> \end{eqnarray*}$

Die 8 rüber bringen:

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{5x² -5x +7}{(x+2)(x-2)} = 0<br /> \end{eqnarray*}$

Ab hier komm ich nicht mehr weiter, ich hab es schon mit * (x-2)(x+2) veruscht, dann würde ja auf der rechten Seiten stehen 0 * (x-2)(x+2) und das wäre ja wieder 0. Und so komm ich nicht auf die Lösung. Ich hab auch schon versucht den Nenner irgentwie zu faktorisieren, so dass sich der Zähler wegkürzt. Alles vergebens. Aber ihr könnt mir da sicher helfen, den Schalter in meinem Kopf umzulegen.

Achso, die Lösungen sind L={2;-1}

Danke schonmal im voraus.

Gruß Kim

28.10.2009, 19:59

sulo

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RE: Quadratische Gleichungen umstellen für Mitternachtsformel

Zitat:

Dann Ausklammern:

$\begin{eqnarray*} \frac{3x² -1x -6x +3 +2x² +4x -2x - 4}{(x+2)(x-2)} = \frac{8}{(x+2)(x-2)} \end{eqnarray*}$

Hier ist dir ein erster Fehler unterlaufen... was ist denn 1*2 Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und: Warum multiplizierst du nicht mit dem HN?

28.10.2009, 21:15

zettu

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Hey danke,
Mit dem Hauptnenner habe ich multipliziert, bin aber durch den Rechenfehler nicht auf das richtige Ergebnis gekommen. Und dann war da noch ein fehler, als ich die 8 auf die linke Seite geholt hab hatte ich +8 gerechnet statt -8. Dann hats funktioniert.

Gruß Kim

28.10.2009, 21:27

sulo

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Schön, dass du den Fehler mit der 8 selbst erkannt hast und weiter rechnen konntest. Freude

Freude

Ich hoffe aber, dass dir klar ist, dass angegebene Lösung so nicht stimmt.... Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.10.2009, 16:53

zettu

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So ich habe noch ein paar Aufgaben versucht und stoß immer wieder auf Probleme.
Ich schreib einfach mal die Aufgaben und mein Lösungsansatz. Vielleicht nimmt sich dem jemand an :-)

btw. warum stimmt oben die angegebene Lösung nicht?

1. Aufgabe
$\begin{eqnarray*} <br /> (7x + 2)(7 - \frac{5 - 3x}{x + 1}) = 6(4x + 5)<br /> \end{eqnarray*}$

Lösungsansatz:
$\begin{eqnarray*} <br /> 49x - \frac{35x - 21x²}{x+1} + \frac{14 - 10 - 6x}{x+1} = 24x + 30<br /> \end{eqnarray*}$

Auf ein HN bringen:
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{49x² + 49x}{x+1} - \frac{35x - 21x²}{x+1} + \frac{14 - 10 - 6x}{x+1} = \frac{24x² + 24x + 30x + 30}{x+1}<br /> \end{eqnarray*}$

Auf ein Bruchstrich bringen (1 Vorzeichen vertauscht sich oder?)
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{49x² + 49x - 35x + 21x² + 14 + 10 - 6x}{x+1} = \frac{24x² + 24x + 30x + 30}{x+1} <br /> \end{eqnarray*}$

Auf Null umstellen und mit HN multiplizieren (dann würde ja (x+1)(0) rechts stehen und der HN einfach wegfallen oder??)
$\begin{eqnarray*} <br /> 46x²-46x-26=0<br /> \end{eqnarray*}$

und wenn ich das jetzt in die Mitternachtsformel einsetze bekomme ich komische Kommazahlen raus, also kann da was nicht stimmen?

die Lösung ist x1 = 1 x2 = - 13/23

2. Aufgabe

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{2x-1}{x-2} + \frac{3x+1}{x-3} = \frac{5x-14}{x-4}<br /> \end{eqnarray*}$

Lösungsansatz (auf 1 HN bringen in 3 Schritten):

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{2x²-6x-x+3+3x²-6x+x-3}{(x-2)(x-3)} = \frac{5x-14}{x-4} <br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> (5x²-12x)(x-4) = (5x-14)(x-2)(x-3)<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> 5x³-20x²-12x²+48x = 5x³-15x²-14x²+42x-10x²+30x+28x-84<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> 7x² -52x -84=0<br /> \end{eqnarray*}$

Auch hier komm ich dann auf das falsche Ergebniss.
L={5; 16/7}

3. Aufgabe

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{x+3}{2x-1} + \frac{3x+4}{x-1} = \frac{7a²+7x+14a}{(x-1)(2x-1)}<br /> \end{eqnarray*}$

Auf ein HN bringen:

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{x²-1x+3x-3+6x²-3x+8x-4}{(x-1)(2x-1)} = \frac{7a²+7x+14a}{(x-1)(2x-1)}<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{7x²+7x-7}{(x-1)(2x-1)} = \frac{7a²+7x+14a}{(x-1)(2x-1)}<br /> \end{eqnarray*}$

Nullstellen und mit HN multiplizieren:

$\begin{eqnarray*} <br /> 7x² -7a² -7 -14a = 0<br /> \end{eqnarray*}$

Gleichung durch 7 teilen:

$\begin{eqnarray*} <br /> x²-a²-1-2a = 0<br /> \end{eqnarray*}$

Hier hab ich das Problem, dass ich nichtmal weiss, was a b und c ist, bzw. ob das bis dahin überhaupt richtig ist.

L={a+1;-a-1}

Danke schon im voraus

29.10.2009, 19:27

Gualtiero

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Die erste Aufgabe habe ich gerechnet und komme auf die quadratische Gleichung

$\begin{eqnarray*} 46x^2-20x-26=0 \end{eqnarray*}$

Eventuell liegt Dein Fehler in der zweiten Zeile, wo Du die zwei Klammerausdrücke ausmultiplizierst. Da sollte doch 49x + 14 . . . stehen, oder verwirrt

verwirrt

Bin dann weg, schaue aber wieder vorbei.

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29.10.2009, 20:59

zettu

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Hi,

Danke, also die 14 hatte ich vergessen ;-)
Aber wenn ich mit

$\begin{eqnarray*} <br /> 46x² - 20x - 26 = 0<br /> \end{eqnarray*}$

rechne, dann komme ich auf die Ergebnisse x1 = 2 und x2 = - 26/23 ?
Bzw. wie kommst du auf die quadratische Gleichung?

Ich habs jetzt noch 2 mal nachgerechnet

und kam einmal auf

$\begin{eqnarray*} <br /> 46x² - 60 - 25 = 0<br /> \end{eqnarray*}$

und einmal hab ich die vorzeichen bei
$\begin{eqnarray*} <br /> - \frac{5 - 3x}{x+1}<br /> \end{eqnarray*}$
nicht in + umgewandelt, sondern so gelassen.
(Aber ich lieg doch so wie oben schon richtig, denn normal wird doch aus dem - schon ein + oder?)

und bekam dann die Gleichung raus:

$\begin{eqnarray*} <br /> 4x²-90x-35= 0 <br /> \end{eqnarray*}$

Aber bei beiden Gleichungen kam ich immer auf Zahlen mit Kommastellen, nachdem ich die Wurzel gezogen habe. Ich verzweifel noch.

29.10.2009, 21:41

krk1234

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also ich komme auf:
$\begin{eqnarray*} 46x²-32x-26=0 \end{eqnarray*}$
mit dem ergebnis:
1.176 und -0,481
gerundet
ich glaube nicht das das eine ganze zahl als ergebnis hat

29.10.2009, 21:46

zettu

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Laut dem Aufgabenblatt sollte als Lösung

x1 = 1

x2 = - 13/23

rauskommen. Aber keine Ahnung ob dass auch wirklich stimmt. Ich zweifel langsam auch :-(

29.10.2009, 21:51

Gualtiero

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Zur Aufgabe 1: Wenn Du die 14 vergessen hast und auch auf meine Gleichung kommst, ist das ein gutes Zeichen. Löse die quadratische Gleichung nochmal, es kommt für x1 = 1 und für x2 = -0.565. . . raus. Hab die Probe damit gerechnet, stimmt.
Aufgabe 3 habe ich noch nicht gemacht, aber Dein Ergebnis sieht gut aus. Lass nur x^2 links stehen, alles andere bringe auf die rechte Seite und zerlege es in Klammerausdrücke; Du bekommst zwei schöne Lösungen.

29.10.2009, 22:14

zettu

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Hallo,
danke für deine Antwort, werd die Aufgabe eins nochmals durchrechnen bis ich zu deiner Gleichung komme.

Zu Aufgabe 3:

ich versteh nicht ganz wie du meinst, also wenn ich bei

$\begin{eqnarray*} <br /> x²-a²-1-2a=0<br /> \end{eqnarray*}$

alles bis auf die x² auf die rechte Seite bringe, sieht das so aus

$\begin{eqnarray*} <br /> x²=a²+1+2a<br /> \end{eqnarray*}$

Dies kann ich jetzt faktorisieren in

$\begin{eqnarray*} <br /> x²=(1+a)(1+a)<br /> \end{eqnarray*}$

-wegeditiert-

29.10.2009, 22:23

zettu

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Dies könnte ich ja nun mit dem Satz vom Nullprodukt lösen, und zwar wenn ich bei:

$\begin{eqnarray*} <br /> x²=(1+a)(1+a)<br /> \end{eqnarray*}$

durch (1+a)(1+a) teile, dann heisst es ja

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{x²}{(1+a)(1+a)} = 0<br /> \end{eqnarray*}$

und jetzt könnt ich für $\begin{eqnarray*} x = 1+a \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x= -1-a \end{eqnarray*}$ einsetzen und es würde 0 rauskommen, richtig?

Kann man diese Gleichung auch Mitternachtsformel-tauglich machen?

29.10.2009, 22:55

Gualtiero

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Die Auflösung in einen quadratischen Klammerausdruck ist meiner Meinung nach schon die Lösung.
Danach hast Du Dich vertan: Eine Zahl kann nie das Ergebnis einer Division oder Multiplikation sein. Du hast die Gleichung durch (1 + a) * (1 + a) dividiert, also bleibt rechts 1 stehen.

Vielleicht hast Du das mit dem Skalarprodukt bei Vektoren verwechselt, da ist das Ergebnis Null, wenn die beiden Vektoren rechtwinklig zueinander sind.

Die Mitternachtsformel brauchst Du nur, wenn Du quadratische und lineare x hast.

29.10.2009, 23:01

zettu

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Ja stimmt wenn ich durch (1 + a)(1 + a) teile, bleibt ne 1 stehen, aber ich frage mich wie man sonst auf die angegebene Lösung von x1=a+1 und x2=-a-1 kommen soll, ich meine die Gleichung muss doch aufgehen, wenn man für x die Zahlen einsetzt?

Die Aufgabe 1 habe ich jetzt auch hinbekommen. Ich hatte mich da sicher immer verrechnet. Und als ich vohin deine Gleichung lösen wollte hatte ich in der Mitternachtsformel unterm Bruchstrich bei 2*a die 2 vergessen Hammer

Hammer

deshalb bin ich dann auf die Ergebnisse:

Zitat:

.... ich auf die Ergebnisse x1 = 2 und x2 = - 26/23 ?
....

Danke schonmal soweit

30.10.2009, 00:37

zettu

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RE: Quadratische Gleichungen umstellen für Mitternachtsformel
Okay Aufgabe 2 hab ich auch lösen können!

Vielen Dank für eure Hilfe!

Ihr werdet sicher die Tage wieder von mir hören :-)

bzw. Gualtiero es wäre nett, wenn du mir bei meiner letzten Frage bezüglich der angegebenen Lösung noch auf die Sprünge helfen könntest.

30.10.2009, 10:05

Gualtiero

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RE: Quadratische Gleichungen umstellen für Mitternachtsformel

Zitat:

aber ich frage mich wie man sonst auf die angegebene Lösung von x1=a+1 und x2=-a-1 kommen soll, ich meine die Gleichung muss doch aufgehen, wenn man für x die Zahlen einsetzt?

Diese Frage habe ich nicht ganz verstanden und bin mir auch jetzt nicht ganz sicher.

In der letzten Gleichung sind die zwei Unbekannten $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ enthalten. Wir haben nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aufgelöst und dabei $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ wie eine Konstante behandelt.
Das Ergebnis drückt eine Beziehung zwischen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ aus, die in dieser Gleichung immer gilt.

Du kannst eine Probe rechnen, indem Du für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die erste Lösung, also $\begin{eqnarray*} (1 + a) \end{eqnarray*}$ , einsetzt, alle Brüche auflöst und zusammenfasst. Am Ende kommt eine wahre Aussage heraus, was die Richtigkeit der Lösung beweist.

Hoffentlich verstehe ich das richtig und habe es auch richtig wiedergegeben. verwirrt

verwirrt

30.10.2009, 17:21

zettu

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Hallo Gualtiero,

ich war etwas verwirrt, weiss aber jetzt was du gemeint hast

x² = (1+a)² ist ja bereits die Lösung

und wenn ich auf beiden Seiten die Wurzel ziehe, dann komm ich ja auf die Lösung x = 1+a.

Danke für deine Hilfe

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