Ungleichungen - unverständliche Fallunterscheidung

28.10.2009, 22:27

Bodo85

Ungleichungen - unverständliche Fallunterscheidung

Hallo zusammen,

ich habe mal wieder ein Problem mit Ungleichungen. Das Thema selbst verstehe ich eigentlich, ich dachte es jedenfalls...

ich habe eine Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-1}>\frac{1}{2x+1} \end{eqnarray*}$

Nun werden in der Lösung folgende Fallunterschiede als Lösung gegeben.

(I) $\begin{eqnarray*} x < -1/2 \end{eqnarray*}$
(II) $\begin{eqnarray*} -1/2 < x < 1 \end{eqnarray*}$
(III) $\begin{eqnarray*} x > 1 \end{eqnarray*}$

Wie komme ich auf diese Fallunterschiede. Ich wäre euch furchtbar dankbar, wenn mir das jemand erklären könnte.

Gruß
Bodo85

28.10.2009, 22:38

Gualtiero

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RE: Ungleichungen - unverständliche Fallunterscheidung
Nachdem Du das Thema verstehst, wirst Du auch wissen, dass man bei Multiplikation u. Division auf das Vorzeichen der Zahl achten muss, mit der man das macht.
Wenn ich mit (-3) multipliziere, ist das kein Problem, denn das Vorzeichen dreht sich um.
Wenn ich aber mit einem unbekannten Ausdruck, oder mit einem Ausdruck, in dem eine Unbekannte enthalten ist, muss ich Fallunterscheidungen treffen.

Zeig einmal Deinen Rechenweg und multipliziere z. B. mit (2x + 1).

Edit: Statt Vorzeichen muss es Ungleichheitszeichen heißen.
Gruß, Gualtiero

29.10.2009, 16:26

Bodo85

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Hi,
ich verstehe nicht so richtig was ich mit (2x + 1) multiplizieren soll.

Ich gehe jetzt mal von der Ungleichung aus...

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-1}>\frac{1}{2x+1} / (2x+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2x+1}{x-1}>1 \end{eqnarray*}$

wenn ich das dann weiter ausrechne, dann komme ich am Ende auf $\begin{eqnarray*} x>-2 \end{eqnarray*}$

Aber wie komme ich auf die o.g. Fallunterschiede?

Gruß
Bodo85

29.10.2009, 16:54

Kopfrechner

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-1}>\frac{1}{2x+1} |* (2x+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2x+1}{x-1}>1 \end{eqnarray*}$

Du multiplizierst mit (2x+1). Dann bleibt das > Zeichen nur richtig, wenn du voraussetzt, dass 2x+1>0 ist, also x>-1/2! 1.Fall
Wenn die weitere Rechung x>-2 ergibt, muss dies zusätzlich gelten, also sind für diesen Fall die Lösungswerte x>-1/2.

Jetzt musst du noch untersuchen, was sich für eine Ungleichung für den Fall ergibt, dass x<-1/2 ist, dann bedeutet *(2x+1) nämlich eine Multiplikation mit einer negativen Zahl und das >Zeichen muss in < invertiert werden! (2.Fall

Gruß, Kopfrechner
(Gualtiero ist wohl offline)

29.10.2009, 19:42

Bodo85

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Vielen Dank erstmal...

ich werde wahrnsinnig.. vllt. brauche ich auch mal eine Mathepause.
Ich bin echt anstrengend, aber ich verstehe es noch immer nicht.

Du sagst 2x+1>0 entspricht x>-1/2 ... wieso?
Ich verstehe nicht mal was der Strich zwischen den Summen sein soll.
Soll der auf eine Aufzählung aufmerksam machen oder ist das ein Bruchstrich?

Tut mir leid, dass ich so schwer von KP bin, aber ich will diese Aufgabe verstehen.

Gruß, Bodo85

29.10.2009, 20:01

Cel

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Zitat:

Original von Bodo85
Du sagst 2x+1>0 entspricht x>-1/2 ... wieso?

Lös das obere doch mal nach x auf ... kommt man auf x > -1/2

29.10.2009, 21:21

Gualtiero

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Ich habe oben in meinem Beitrag gepatzt, indem ich Vorzeichen und Ungleichheitszeichen verwechselt habe. Ist aber korrigiert. Hoffentlich hat Dich nicht das durcheinander gebracht.

Zitat:

Ich verstehe nicht mal was der Strich zwischen den Summen sein soll.
Soll der auf eine Aufzählung aufmerksam machen oder ist das ein Bruchstrich?

Du meinst wahrscheinlich den senkrechten Strich in der ersten Zeile in Kopfrechners Beitrag. Der deutet einfach an, dass die angeführte Operation - in dem Fall Multiplikation mit (2x + 1) - für beide Seiten der Ungleichung gilt. Das kennst Du sicher von den Gleichungen her, Du hast oben stattdessen einen Schrägstrich gesetzt.

31.10.2009, 15:48

Bodo85

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So ich habe jetzt mal eine Nacht drüber geschlafen und es mir neu angetan. Mir ist nun einiges viel klarer. Ich würde gerne mal meine Fallunterscheidungen zu dieser Aufgabe präsentieren. Vielleicht könnt Ihr eure Meinung dazu schreiben.
Also :

Fallunterscheidug I:

$\begin{eqnarray*} x-1>0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x+1>0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x>-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x>-1/2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x+1 > x-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x>-2 \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich $\begin{eqnarray*} L(1)= (1;\infty ) \end{eqnarray*}$

Fallunterscheidug II:

$\begin{eqnarray*} x-1<0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x<1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x+1<0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x<-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x<-1/2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x+1 < x-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x<-2 \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich $\begin{eqnarray*} L(2)= (-\infty;-2 ) \end{eqnarray*}$

Leider muss ich jetzt schon einen Fehler in meiner Rechnung haben.... JEdenfalls laut meiner Musterlösung. Was sagt Ihr dazu ?

31.10.2009, 16:12

Bodo85

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Noch ergänzend hinzuzufügen... ich habe insgesammt 4 Fallunterscheidungen, in der Lösung steht, dass es nur 3 gäbe ?!

31.10.2009, 16:47

Gualtiero

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@Bodo85
Ausnahmsweise antworte ich etwas ausführlicher, weil ich das Gefühl habe, dass wir irgendwie aneinander vorbeireden, Du aber dennoch Hilfe bekommen sollst. Geh das in Ruhe durch; bin erst am Abend wieder da.
Wegen der Übersichtlichkeit hier nochmal die Ungleichung.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-1}>\frac{1}{2x+1} \end{eqnarray*}$

Nehmen wir an, beide Nenner seien größer als Null, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} (2x + 1) > 0 \end{eqnarray*}$ bedeutet: $\begin{eqnarray*} x > -(1/2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x - 1) > 0 \end{eqnarray*}$ bedeutet: $\begin{eqnarray*} x > 1 \end{eqnarray*}$

Schnittmenge davon, weil beide Voraussetzungen gleichzeitig gelten müssen: $\begin{eqnarray*} x > 1 \end{eqnarray*}$

Multiplikation der UGl. mit (2x + 1) und danach mit (x - 1), das Ungleichheitszeichen bleibt unverändert.

$\begin{eqnarray*} 2x+1>x-1 \end{eqnarray*}$

Nach dem Umstellen erhalten wir: $\begin{eqnarray*} x>-2 \end{eqnarray*}$

Dieses Ergebnis gilt unter der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} x > 1 \end{eqnarray*}$ , die Schnittmenge von Voraussetzung und Ergebnis ist $\begin{eqnarray*} x > 1 \end{eqnarray*}$ .

Die Untersuchung der weiteren Fälle ist etwas unübersichtlich. Nehmen wir an, der Nenner auf der rechten
Seite sei kleiner Null. Wenn wir damit die Ungleichung multiplizieren, kehrt sich das Vorzeichen um.

$\begin{eqnarray*} Vsg.\,\, 1: (2x + 1) < 0 \end{eqnarray*}$ bedeutet $\begin{eqnarray*} x < -(1/2) \end{eqnarray*}$

Wir erhalten $\begin{eqnarray*} \frac{2x+1}{x-1}<1 \end{eqnarray*}$

Da der Nenner links noch immer ein unbekannter Ausdruck ist, müssen wir dieses Zwischenergebnis wie eine eigene Ungleichung betrachten, also mit weiteren Fallunterscheidungen. Von jetzt an in einem verkürzten Stil.

$\begin{eqnarray*} Vsg.\,\, 2: (x - 1) > 0 \longrightarrow x > 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x+1<x-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x<-2 \end{eqnarray*}$

Ergebnis und Vsg. 2:HHnitten mit Vsg. I ergibt LM.

$\begin{eqnarray*} Vsg.\,\, 3: (x - 1) < 0 \longrightarrow x < 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x+1>x-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x>-2 \end{eqnarray*}$

Ergebnis und Vsg. 3:

$\begin{eqnarray*} x>-2 \wedge x < 1 \Longrightarrow -2<x<1 \end{eqnarray*}$ , und dies geschnitten mit Vsg. I ergibt: $\begin{eqnarray*} -2<x<-(1/2) \end{eqnarray*}$

08.11.2009, 21:57

Bodo85

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Hallo und einen schönen guten Abend.
Ich habe mich diese We nochmal drangesetzt. Ich habe es endlich verstanden. LEider habe ich am We nur Zeit dafür.
Also ich habe echt ein wneig gebraucht um durch die Rechnung durchzusteigen.

Ich habe mir eine kleine Hilfe in Form von einem Zahlenstrahl aufgemalt. Ich möchte mich bei euch ganz herzlich bedanken. Das hätte ich sonst nie begriffen.

Also zu meiner Lösung.
Nachdem ich mir meine Ergebnisse aufgemalt habe konnte man folgende Lösungen herauslesen.

$\begin{eqnarray*} L1=(1;\infty ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L2=(-1/2;-\infty ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L3=(-1/2;1) \end{eqnarray*}$

D.h.
$\begin{eqnarray*} <br /> Lges=L1 \bigcup L2<br /> \end{eqnarray*}$

An diese Stelle nochmal vielen Dank und ebenfalls ein sorry für die späte Antwort, aber vielleicht hilf das dem nächstem ebenfalls Augenzwinkern

Einen schönen Abend euch!

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