Teiler

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28.10.2009, 20:56

kai24ho1

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Neue Aufgabe

Hallo,

kennst jemand die kleinste Zahl mit genau 18 Teilern???
Bitte um Hilfe traurig

Vielen Dank schon in Vorraus
Grüße
kai24ho1

28.10.2009, 21:30

MLRS

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RE: Neue Aufgabe
in welchem Zusammenhang hast du diese Aufgabe gestellt bekommen?

Was weißt du über die Anzahl der Teiler einer Zahl?

29.10.2009, 07:43

Ivan33

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Definiere Teiler. Streng genommen hat eine Zahl unendlich viele Teiler: Beispielsweise ist $\begin{eqnarray*} \frac{2}{4} = 0,5 \end{eqnarray*}$ und somit hat die 2 auch die 4 als Teiler.

Wenn du jedoch von den Teilern in der Menge der natürlichen Zahlen, ausschließlich der Einheit (1) sprichst, ist das was anderes. Dann gilt: $\begin{eqnarray*} a \mid b \Leftrightarrow \frac{b}{a}, a,b \in \mathbb N, a \not= 1 \end{eqnarray*}$ . Somit ist die kleinste Zahl mit nur a Teilern $\begin{eqnarray*} 2^{a-1} \end{eqnarray*}$

29.10.2009, 07:58

Ivan33

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Sorry, ich hatte gerade einen Blackout. Die kleinste Zahl mit nur a Teilern ist $\begin{eqnarray*} 2^a \end{eqnarray*}$ .

29.10.2009, 08:01

kiste

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Das man hier Teilbarkeit nicht in einem Körper betrachtet ist klar. Viel interessanter ist es zu erwähnen dass man negative Teiler nicht betrachtet.

Zitat:

Original von Ivan33Dann gilt: $\begin{eqnarray*} a \mid b \Leftrightarrow \frac{b}{a}, a,b \in \mathbb N, a \not= 1 \end{eqnarray*}$ .

Das ist übrigens Schwachsinn. $\begin{eqnarray*} \frac b a \end{eqnarray*}$ ist keine Aussage, du meinst $\begin{eqnarray*} \frac b a \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Was aber in der Definition für Teiler besser so geschrieben wird:
$\begin{eqnarray*} \exists c\in \mathbb N: b = ac \end{eqnarray*}$
Die 1 wird übrigens bei der Definition der Teiler nicht ausgelassen.
Man spricht jedoch von echten Teilern, also Teilern die keine Einheit sind

29.10.2009, 08:13

Ivan33

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Zitat:

Original von kiste
$\begin{eqnarray*} \frac b a \end{eqnarray*}$ ist keine Aussage, du meinst $\begin{eqnarray*} \frac b a \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Das habe ich auch hingeschrieben, nur ergänzte ich auch, dass a und b Elemente von der Menge der natürlichen Zahlen sind. (EDIT: Ich zitiere nochmals einen Ausschnitt: $\begin{eqnarray*} \frac{b}{a}, a,b \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ )

Zitat:

Die 1 wird übrigens bei der Definition der Teiler nicht ausgelassen.

Ich habe ja auch ausschließlich der Einheit hingeschrieben. Mit

Zitat:

Man spricht jedoch von echten Teilern, also Teilern die keine Einheit sind

sagst du nichts anderes.

29.10.2009, 13:30

Mystic

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Ich nehme mal an, es geht hier nur um die positven Teiler, wobei aber klarerweise auch 1 mitgezählt wird... Ist dann t die vorgegeben Teileranzahl und

$\begin{eqnarray*} t = q_1 q_2\ldots q_r, \quad q_1,q_2,\ldots,q_r \in \mathbb P, q_1 \ge q_2 \ge \ldots \ge q_r \end{eqnarray*}$

eine Darstellung von t als Produkt von Primzahlen absteigend geordnet und ist

$\begin{eqnarray*} p_1,p_2,p_3,\ldots \end{eqnarray*}$

die Folge aller Primzahlen in aufsteigender Reihenfolge, so sollte man sich in Hinblick auf die Aufgabenstellung die Zahl

$\begin{eqnarray*} n = \prod_{k=1}^r p_k^{q_k-1} \end{eqnarray*}$

mal genauer ansehen...

29.10.2009, 14:22

kai24ho1

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Danke für die ganzen Antworten... Gott

Jedoch muss ich sagen, dass ich noch nicht viel von Mathe versteh, da ich erst in die 7.Klasse geh Tanzen

Also hier nochmal die Aufgabe:

Bestimme die kleinste Zahl, die genau 18 Teiler hat.

29.10.2009, 14:30

lgrizu

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ich mische mich mal ein, da ich nen nachhilfeschüler, der auch die siebte klasse besucht habe und der eine ähnlich aufgabe gestellt bekommen hat.
ein wenig überlegung ist schon gefragt, und es wurde ja auch die antwort bereits gegeben, da du den zusammenhang nicht kennst versuch es mal so:
es sind zum ersten nicht nur primteiler gemeint, so war das jedenfalls bei meiner schülerin, sondern alle teiler.
jetzt überlege mal, wie man 18 verschiedene teiler bekommt, die zusammen eine möglichst kleine zahl bilden, die 18 von 1 verschiedenen kleinsten teiler sind doch 2,3,4,.......,19. jetzt berechnest du das kleinste gemeinsame vielfache dieser zahlen und voila....

29.10.2009, 14:33

lgrizu

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ach so, noch was, falsches forum, das hat in hochschulmathematik nichts verloren.....
es ist auch immer schön, wenn man am anfang dazu schreibt, welche vorkenntnisse man besitzt.

29.10.2009, 14:50

Mystic

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Hm, ich hab dir doch oben eine genaue Beschreibung gegeben, wie man das kleinste n mit genau 18 (positiven) Teilern findet... Was genau verstehst du daran nicht, das würde mich jetzt wirklich interssieren...

1. Du kannst t=18 nicht als Produkt von Primzahlen

$\begin{eqnarray*} t =q_1q_2\ldots q_r,\quad q_1 \ge q_2 \ge \ldots \ge q_r \end{eqnarray*}$

(absteigend geordnet) darstellen? O ja O nein

2. Du kannst die Folge der Primzahlen $\begin{eqnarray*} p_1,p_2,p_3,... \end{eqnarray*}$ , nicht wenigstens bis $\begin{eqnarray*} p_r \end{eqnarray*}$ in aufsteigender Reihenfolge bilden? O ja O nein

3. Du kannst die Produktdarstellung von n, nämlich

$\begin{eqnarray*} n=p_1^{q_1-1}p_2^{q_2-1}\ldots p_r^{q_r-1} \end{eqnarray*}$

mit den Informationen aus 1. und 2. nicht bilden? O ja O nein

29.10.2009, 16:20

tmo

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Zitat:

Original von Ivan33
Sorry, ich hatte gerade einen Blackout. Die kleinste Zahl mit nur a Teilern ist $\begin{eqnarray*} 2^a \end{eqnarray*}$ .

Also ist die kleinste Zahl mit 12 Teilern $\begin{eqnarray*} 2^{12}=4096 \end{eqnarray*}$ . Woraus übrigens direkt $\begin{eqnarray*} 60 > 4096 \end{eqnarray*}$ folgt Big Laugh

29.10.2009, 21:29

kai24ho1

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und was ist jetzt das Ergebnis????

LG
kai24ho1

29.10.2009, 21:33

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Zitat:

Original von tmo

Zitat:

Original von Ivan33
Sorry, ich hatte gerade einen Blackout. Die kleinste Zahl mit nur a Teilern ist $\begin{eqnarray*} 2^a \end{eqnarray*}$ .

Also ist die kleinste Zahl mit 12 Teilern $\begin{eqnarray*} 2^{12}=4096 \end{eqnarray*}$ . Woraus übrigens direkt $\begin{eqnarray*} 60 > 4096 \end{eqnarray*}$ folgt Big Laugh

Zumindest ist $\begin{eqnarray*} 2^{12} \end{eqnarray*}$ die kleinste positive Zahl mit genau 13 Teilern. Knapp daneben ist auch vorbei. Augenzwinkern

30.10.2009, 10:34

Ivan33

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von tmo

Zitat:

Original von Ivan33
Sorry, ich hatte gerade einen Blackout. Die kleinste Zahl mit nur a Teilern ist $\begin{eqnarray*} 2^a \end{eqnarray*}$ .

Also ist die kleinste Zahl mit 12 Teilern $\begin{eqnarray*} 2^{12}=4096 \end{eqnarray*}$ . Woraus übrigens direkt $\begin{eqnarray*} 60 > 4096 \end{eqnarray*}$ folgt Big Laugh

Zumindest ist $\begin{eqnarray*} 2^{12} \end{eqnarray*}$ die kleinste positive Zahl mit genau 13 Teilern. Knapp daneben ist auch vorbei. Augenzwinkern

Ich spreche von Teilern in

Zitat:

der Menge der natürlichen Zahlen, ausschließlich der Einheit (1)

Die Zahl hat demnach nur 12 Teiler.

Zitat:

und was ist jetzt das Ergebnis????

Das kann ich dir nicht sagen. Du musst mehr Informationen hergeben. Welche Teiler sind erlaubt? Schließt man Einheiten als Teiler aus?

Wenn von den Teilern in der Menge der natürlichen Zahlen, ausschließlich der Einheit (1) sprichst, ist das Ergebnis $\begin{eqnarray*} 2^{18} = 262144 \end{eqnarray*}$ .
Schließt du die Einheit nicht aus, ist das Ergebnis $\begin{eqnarray*} 2^{17} = 131072 \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Ich errinere mich noch an die 6. Klasse: Dort wurde die 1 auch zu den Teilern mitgezählt. Also nehme ich an, dass dies bei dir auch so ist. Das Ergebnis ist also $\begin{eqnarray*} 2^{17} = 131072 \end{eqnarray*}$ .
EDIT: Ach ja, ich spreche nicht nur von Teilern in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ sondern auch von den Zahlen die dort drin sind.

30.10.2009, 10:51

tmo

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Zitat:

Original von Ivan33
Ich errinere mich noch an die 6. Klasse: Dort wurde die 1 auch zu den Teilern mitgezählt. Also nehme ich an, dass dies bei dir auch so ist. Das Ergebnis ist also $\begin{eqnarray*} 2^{17} = 131072 \end{eqnarray*}$ .

Ich hab gedacht mein Beispiel bringt dich mal zum Nachdenken.

Ich kann dir viele Zahlen nennen, die kleiner sind als 2^17, aber auch 18 Teiler haben.

Z.b. 252, 396, 468, 288, 800, 1575 etc...

Da ist aber immer noch nicht die kleinste dabei...

@Threadersteller: Du hast jetzt 2 Möglichkeiten die Lösung zu finden:

1. Die Primfaktorzerlegungen der obigen Zahlen angucken und so überlegen, wie ich auf diese Zahlen gekommen bin. Dann kommst du auch auf die kleinste solche Zahl.

2. Ein Script schreiben, dass dir Anzahl der Teiler der Zahlen 1 bis 251 ausgibt...

30.10.2009, 11:02

Mystic

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Zitat:

Original von tmo
@Threadersteller: Du hast jetzt 2 Möglichkeiten die Lösung zu finden:

1. Die Primfaktorzerlegungen der obigen Zahlen angucken und so überlegen, wie ich auf diese Zahlen gekommen bin. Dann kommst du auch auf die kleinste solche Zahl.

2. Ein Script schreiben, dass dir Anzahl der Teiler der Zahlen 1 bis 251 ausgibt...

Hm, sorry, aber die naheliegendste Möglichkeit scheint mir da immer noch zu sein

3. Den Algorithmus von mystic in diesem Thread Schritt für Schritt durchzugehen...

Warum wird mein Algorithmus hier eigentlich so beharrlich ignoriert? Beim Threadersteller und bei Ivan würd ich's ja noch verstehen, für die ist er einfach zu "hoch", aber sonst... verwirrt

30.10.2009, 14:40

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Zitat:

Original von Ivan33
Ich spreche von Teilern in

Zitat:

der Menge der natürlichen Zahlen, ausschließlich der Einheit (1)

Die Zahl hat demnach nur 12 Teiler.

Keiner sonst auf der Welt definiert das so, dass er die 1 ausschließt. Das ist doch jetzt nur eine Spezialdefinition von dir, weil du keine Fehler zugeben kannst - wie immer. Üblich ist allenfalls noch der Begriff des echten Teilers, wo man dann in der Tat die Zahl selbst nur als Teiler, aber nicht als echten Teiler ansieht - aber das betrifft nicht die 1 als Teiler.

Das Beispiel mit der $\begin{eqnarray*} 2^{17} \end{eqnarray*}$ für eine Zahl mit 18 Teilern beweist, dass du jetzt auch umgeschwenkt bist. Und irgendwann wirst du dann hoffentlich auch noch einsehen, dass $\begin{eqnarray*} 2^{17} \end{eqnarray*}$ nicht die kleinste positive Zahl mit 18 Teilern ist. Aber da sollen sich andere mit dir rumärgern (@tmo: mein Beileid).

30.10.2009, 15:23

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Zitat:

Original von Mystic
Warum wird mein Algorithmus hier eigentlich so beharrlich ignoriert?

Ich schaue ihn mal an:

Zitat:

Original von Mystic
Ist dann t die vorgegeben Teileranzahl und

$\begin{eqnarray*} t = q_1 q_2\ldots q_r, \quad q_1,q_2,\ldots,q_r \in \mathbb P, q_1 \ge q_2 \ge \ldots \ge q_r \end{eqnarray*}$

eine Darstellung von t als Produkt von Primzahlen absteigend geordnet und ist

$\begin{eqnarray*} p_1,p_2,p_3,\ldots \end{eqnarray*}$

die Folge aller Primzahlen in aufsteigender Reihenfolge, so sollte man sich in Hinblick auf die Aufgabenstellung die Zahl

$\begin{eqnarray*} n = \prod_{k=1}^r p_k^{q_k-1} \end{eqnarray*}$

mal genauer ansehen...

"Genauer ansehen" ist die richtige Formulierung, denn zwar sehr oft, aber nicht immer ist diese Zahl die kleinste Zahl mit t Teilern. Augenzwinkern

Mit einer kleinen Modifikation

Zitat:

$\begin{eqnarray*} t = q_1 q_2\ldots q_r, \quad q_1,q_2,\ldots,q_r \in \mathbb P, q_1 \ge q_2 \ge \ldots \ge q_r \end{eqnarray*}$

eine Darstellung von t als Produkt von positiven ganzen Zahlen >1 absteigend geordnet

erwischst du dann die kleinste Zahl. Allerdings gibt es dann u.U. viele Varianten dieser Zerlegung zu untersuchen Augenzwinkern

Beispiel: $\begin{eqnarray*} t=8 \end{eqnarray*}$

Nach deinem Rezept ergibt sich die Zerlegung $\begin{eqnarray*} 8=2\cdot 2\cdot 2 \end{eqnarray*}$ und dann die Zahl $\begin{eqnarray*} 2\cdot 3\cdot 5 = 30 \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} 8 = 4\cdot 2 \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} 2^3\cdot 3 = 24 \end{eqnarray*}$ kriegt man aber eine kleinere Zahl mit 8 Teilern. Teufel

30.10.2009, 15:34

Mystic

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Ah danke, endlich jemand, der sich der Sache annimmt, und das gleich mit einer Verbesserung...Um ehrlich zu sein, war ich mir genau in diesem Punkt nicht ganz sicher, wie das in der allerersten Formulierung des Algorithmus noch zum Ausdruck kommt, und ich bin daher froh, dass das jetzt geklärt ist... Augenzwinkern

30.10.2009, 16:02

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Mir war als Schüler mal folgende eher harmlose Olympiadeaufgabe begegnet:

Zitat:

Man bestimme 4 positive ganze Zahlen derart, dass jede von ihnen nicht größer als 70000 ist und jede von ihnen mehr als 100 Teiler hat.

Bei der kommt dann eine ähnliche Technik zum Tragen, wiewohl hier die Teileranzahl $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ nicht genau spezifiziert ist, sondern nur mit der unteren Schranke 101.

30.10.2009, 21:59

kai24ho1

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ja genau es wird die 1 auch mitgezählt smile

aber ist dies auch die kleinste Zahl??

Grüße
kai24ho1

30.10.2009, 22:07

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Das klingt jetzt nicht so, als hättest du den letzten Beitrag von tmo wirklich gründlich gelesen. Solltest du tun, da steht alles wesentliche drin.

31.10.2009, 11:45

Mystic

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Ich hab mir jetzt die "Ausnahmen" zu meiner "Regel" etwas angeschaut... Wenn die Teileranzahl nicht außerordentlich hoch ist, sagen wir mal höchstens zweistellig, so sind dann höchstens Vielfache von 8 Ausnahmen...Nachfolgend eine Tabelle dieser 9 Ausnahmen bis 100:

$\begin{eqnarray*} \begin {array}{|l|l|} \hline t &\text{Faktorisierung} \hline 8 &4 \cdot 2 \hline 16 & 4 \cdot 2 \cdot 2 \hline 24 & 4 \cdot 3 \cdot 2 \hline 32 & 4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \hline 48 & 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \hline 64 & 4 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 2 \hline 72 & 6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \hline 80 & 5 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 2 \hline 96 & 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\\ \hline \end{array} \end{eqnarray*}$

Auch unter den 62 Ausnahmen bis 1000 sind nur 7 Zahlen, die nicht Vielfache von 8 sind, die kleinste ist 108, mit der "richtigen" Faktorisierung

$\begin{eqnarray*} 108 = 6 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \end{eqnarray*}$

Für zufällig ausgewählte Teileranzahlen unter 1000 ist also meine Regel mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 94% richtig, aber speziell bei Zahlen, die durch 8 teilbar sind (oder allgemeiner kleine Primfaktoren in einer relativ hohen Vielfachheit aufweisen) muss man oft, wie aus obiger Tabelle ersichtlich, ein bißchen "herumjonglieren" um auf die "richtige" Faktorisierung der Teileranzahl zu kommen, aus der man dann wie gehabt das kleinste n mit dieser Teileranzahl ableiten kann...

31.10.2009, 12:14

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Ja, es mag selten sein, dass der zuerst von dir erwähnte Vorschlag nicht greift. Wenn man sich allerdings die 5 (ja es sind 5, nicht nur 4) Zahlen anschaut, die die oben erwähnte Aufgabe

Zitat:

Man bestimme 4 positive ganze Zahlen derart, dass jede von ihnen nicht größer als 70000 ist und jede von ihnen mehr als 100 Teiler hat.

lösen, dann sind schon mal zwei "Ausnahmen" dabei. Augenzwinkern

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