Finanzmathematik

29.10.2009, 08:53

Timoida

Finanzmathematik

Folgende Aufgabenstellung:

Es werden 30.000 € jedes Jahr vorschüssig auf ein Konto eingezahlt. Der Zins beträgt 8%. Wie oft müssen die 30.000€ eingezahlt werden, damit nach 20 Jahren ein Kapital von 500.000€ zur Verfügung steht.

Anm.: Das Kapital setzt sich bei 20 Jahren also z. T. aus der Rentenrechnung und der Zinseszinsrechnung zusammen. Ich habe Schwierigkeiten die sog. "Sparkassenformel" richtig anzuwenden.
Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen?

Vielen Dank

29.10.2009, 09:24

tigerbine

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RE: Finanzmathematik
Willkommen

Wo genau hast du denn Schwierigkeiten? Was sind die wichtigen Angaben im Text?

* vorschüssig

* Rate = 30.000€

* Zins = 0.08

* K nach 20 Jahren = 500.000€

Nun schauen wir die Formeln an.

$\begin{eqnarray*} K_n:=k\cdot q^n+r\cdot q \cdot \frac{q^n-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

Dabei ist:

k das Anfangskapital
q =1+Zins
r ist die Rate
n die Laufzeit.

Was die Aufgabe nicht verrät ist, wie der Einzahlungsmodus ist. Erst soll er Jählich einzahlen, dann wird gefragt, wie oft er das tun soll (also wohl nicht über die ganzen 20 Jahre). Das läßt aber so erstmal keine eindeutige Lösung zu. Daher treffe ich die Annahme, dass am Stück von Anfang an eingezahlt wird, bis soviel da ist, dass es bei nur Verzinsung am Ende die 500.000€ ergibt.

Damit erhalte ich die Formel, n<=20:

$\begin{eqnarray*} 500.000 = K_n \cdot 1.08^{20-n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 500.000 = (0 + 30.000 \cdot 1.08 \cdot \frac{1.08^n-1}{0.08}) \cdot 1.08^{20-n} \end{eqnarray*}$

Ich komme so auf ca. 4 Jahre Einzahlungen.

29.10.2009, 10:05

Timoida

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RE: Finanzmathematik
Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Die Aufgabenstellung hast du zu 100% richtig erfasst.

Bei der Formelaufstellung hast du mir sehr weitergeholfen. Hatte da einen kleinen (aber entscheidenden Fehler) drin.

Mein Problem liegt hauptsächlich darin nach n aufzulösen.

Kriege das einfach nicht in den Griff.

29.10.2009, 10:25

tigerbine

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RE: Finanzmathematik
Dann zeig mal wie weit du kommst. Und keine Angst vor dem ln. Augenzwinkern

edit: Wo gibbet denn dieses Konto? Ich will auch 8% Big Laugh

29.10.2009, 10:53

Rumpfi

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RE: Finanzmathematik

Zitat:

Original von tigerbine
edit: Wo gibbet denn dieses Konto? Ich will auch 8% Big Laugh

Ich glaub nicht, dass es solche Sparbücher mit 8% gibt, wohl eher Kredite mit 8%.

@ Timoida

zur wiederholung oder Auffrischung

$\begin{eqnarray*} x^{n} = n\cdot \ln x \end{eqnarray*}$

29.10.2009, 10:55

tigerbine

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RE: Finanzmathematik
1. Ein bisschen Spass muss sein.

2. Deine Gleichung ist falsch.

Es sollten die Rechenregeln für Logarithmen angewendet werden.

$\begin{eqnarray*} \ln(x^n) = n\cdot \ln (x) \end{eqnarray*}$

29.10.2009, 11:54

Huggy

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RE: Finanzmathematik
@tigerbine

8 % Rendite ohne großes Risiko zu bekommen, ist wirklich schwer. Leichter bekommt man 100 % Rendite ganz ohne Risiko. Biete doch mal deinen Bekannten die folgende Wette an:

Ich wette mit dir um 1 €, dass ich dir 5 € gebe, wenn du mir 2 € gibst.

29.10.2009, 12:24

Timoida

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RE: Finanzmathematik
Hier mal mein Versuch .... weit gekommen bin ich nicht.

$\begin{eqnarray*} 500000= 32400 \cdot \frac{1,08^{n}- 1 }{0,08} \cdot 1,08^{20- n} \end{eqnarray*}$

Multiplizieren mit 0,08

$\begin{eqnarray*} 40000 = 32400\cdot 1,08^{n} - 1 \cdot 1,08^{20- n} \end{eqnarray*}$

Teilen durch 1,08 hoch 20-n

$\begin{eqnarray*} \frac{40000}{1,08^{20- n} } = 32400\cdot 1,08^{n} - 1 \end{eqnarray*}$

Und jetzt gehen die Probleme los: Wie bekomme ich das Ganze (wenn es bis dahin stimmt) vernünftig hin um nach n aufzulösen

P.S. Hab leider die Klammern nicht gesetzt. Muss mich erst an den Formeleditor
gewöhnen ;-)

29.10.2009, 12:32

tigerbine

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RE: Finanzmathematik
Das bringt doch nichts. Du muss n doch isolieren.

$\begin{eqnarray*} 500.000 = (0 + 30.000 \cdot 1.08 \cdot \frac{1.08^n-1}{0.08}) \cdot 1.08^{20-n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 500.000 = 30.000 \cdot 1.08 \cdot \frac{1.08^n-1}{0.08} \cdot 1.08^{20-n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 500.000 = 405.000 (1.08^n-1)\cdot 1.08^{20-n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 500.000 = 405.000 (1.08^{20}-1.08^{20-n}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{500}{405}= 1.08^{20}-1.08^{20-n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{500}{405}-1.08^{20}= -1.08^{20-n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{500}{405}-1.08^{20}= 1.08^{20-n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3.43 \approx 1.08^{20-n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln(3.43) \approx (20-n) \ln(1.08) \end{eqnarray*}$

Den Rest schaffst du alleine. Augenzwinkern

29.10.2009, 13:04

Timoida

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Jetzt hab ich`s

Vielen Dank! Ohne deine Hilfe wäre ich im Nirwana gelandet. Wink

29.10.2009, 17:16

tigerbine

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