Verallgemeinerte Ableitung

29.10.2009, 10:34	oldwise	Auf diesen Beitrag antworten »
Verallgemeinerte Ableitung Hi! Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray} f(x)=\|x\| \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ eine verallgemeinerte 1.Ableitung besitzt, d.h. also, dass $\begin{eqnarray} \int_\mathbb R f'(x)\phi(x)dx=(-1)\int_\mathbb R f(x)\phi'(x)dx \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \phi(x) \end{eqnarray}$ gilt. Wenn ich nun auf der linken Seite die partielle Integration ansetze, dann erhalte ich: $\begin{eqnarray} \int_\mathbb R f'(x)\phi(x)dx=\|x\|\phi(x)-\int_\mathbb R f(x)\phi'(x)dx \end{eqnarray}$ . Das ist ja fast das Gesuchte. Aber warum sollte $\begin{eqnarray} \|x\|\phi(x) \end{eqnarray}$ verschwinden? Viele Grüße
29.10.2009, 12:06	Mario	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde mal folgende Denkanstöße geben: 1. Was ist denn der "Kandidat" für die verallgemeinerte Ableitung? Den sollte man natürlich in die Formel einsetzen. 2. Was ist in Deiner Formel mit den Grenzen für \|x\|\phi(x) passiert? 3. Welche Voraussetzungen werden denn an die Testfunktion \phi gestellt? Lg Mario
29.10.2009, 13:23	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn eine verallgemeinerte Ableitung? Ist das $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} \end{eqnarray}$
29.10.2009, 15:29	oldwise	Auf diesen Beitrag antworten »
@Leopold: Eine verallgemeinerte Ableitung findet man auch unter dem Begriff schwache Ableitung. @Mario: Es geht mir darum, warum der Mittelteil verschwindet. Das ist mit den Grenzen ist mir auch aufgefallen. Richtig lautet die Formel also: $\begin{eqnarray} \int_\mathbb R f'(x)\phi(x)dx = \|x\|\phi(x)\|_\mathbb R-\int_\mathbb R f(x)\phi'(x)dx \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f'(x) \end{eqnarray}$ klar sind, habe ich die jetzt ausgespart. Danke für den Tipp bzgl. der Anforderungen an $\begin{eqnarray} \phi(x) \end{eqnarray}$ . Es wird ja gefordert, dass $\begin{eqnarray} \phi(a)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \phi(b)=0 \end{eqnarray}$ ist, wenn man auf $\begin{eqnarray} (a,b) \end{eqnarray}$ integriert. Wie interpretiere ich das aber sinnvoll für $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ? Etwa $\begin{eqnarray} \phi(-\infty)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \phi(\infty)=0 \end{eqnarray}$ ?
29.10.2009, 17:47	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ kommt aus dem Raum der Testfunktionen über $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ , hat also einen kompakten Träger. Anders ausgedrückt ist $\begin{eqnarray} \phi(x)=0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \|x\|>a \end{eqnarray}$ für ein gewisses $\begin{eqnarray} a\in\mathbb R \end{eqnarray}$ . Das bedeutet tatsächlich, dass $\begin{eqnarray} \lim_{x\to-\infty}\phi(x)=\lim_{x\to\infty}\phi(x)=0 \end{eqnarray}$ . Der Raum der Testfunktionen für $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ist in diesem Fall $\begin{eqnarray} C_c^1(\mathbb R) \end{eqnarray}$ , das heisst die Menge aller einmal stetig differenzierbaren Funktionen definiert auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ mit kompaktem Träger [angedeutet durch das c im Index].

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