Überprüfen ob es ein Vektorraum ist (Beispiel)

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pizzaschachtel Auf diesen Beitrag antworten »
Überprüfen ob es ein Vektorraum ist (Beispiel)
Hallo Leute,
ich habe nur ne kleine Frage, da ich das gesamte Prinzip nicht verstehe. Erst einmal die Aufgabe:
[attach]11697[/attach]
So, wie mache ich das nun bei zum Beispiel Aufgabe a)?
Ich weiß das irgendwas mit 0 rauskommen muss.
Also?
x+y+z=0 ... aber wie gehts nun weiter? Ich kann doch nun nicht einfach was für x einsetzen, oder?
Wie funktioniert das, ich verstehe das ganze irgendwie nicht ...

Könnt ihr mir helfen? verwirrt

Danke Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfen ob es ein Vektorraum ist (Beispiel)
1. Mal überlegen, ob IR³, Q³ Vektorräume sind.

2. Dann ist nur auf UVR zu prüfen.

3. Wie? Boardsuche für Beispiele verwenden. UVR beweisen
pizzaschachtel Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann mal wie ich das machen würde:
Zur Aufgabe 1.

1. Q³ ist ein Vektorraum, weil der Nullvektor enthalten ist.

Stimmt das? Wie kann ich das beweisen?

2.
Liegen Sklare drinne:

Stimmt das? Was ergibt das fürn Sinn?

3. Summe:


Stimmt das?

Wenn ja, warum stimmt das? Ich versteh immer noch nur Bahnhof^^
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

1. Das ist so natürlich falsch.

2. Betrachten wir die Körper Q und IR. Dann ergibst sich mit diesen Eigenschaften, offensichtlich, dass für Q³ und IR³ die Vektorraumaxiome erfüllt sind. Das solltet ihr auch in der Vorlesung gemacht haben.

3. Ein UVR ist auch immer ein VR. Für deine Aufgabe und dem unter (1) erworbenen Wissen um die VRs, musst du nur die UVR-Eigengenschaft zeigen. Siehe Beispiel oder hier.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
2. Betrachten wir die Körper Q und IR. Dann ergibst sich mit diesen Eigenschaften, offensichtlich, dass für Q³ und IR³ die Vektorraumaxiome erfüllt sind.


Nur damit bei pizzaschachtel kein falscher Eindruck entsteht: ist kein Untervektorraum des ; denn die (in der Bezeichnung unterdrückten) Skalarkörper sind unterschiedlich.
pizzaschachtel Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, also ich muss zeigen, dass

1.
Wie zeige ich das?
Weil ich weiß, dass x ein Element von Q ist, y und z auch eins ... das heißt, es ist nicht leer, oder?

2. Für alle belibigen Zahlen aus Q gilt
Wie zeige ich das?
So(?): x_1+y_1+z_1=0, weil es so schon in der Aufgabenstellung gegeben ist?

3. Das gleiche gilt für mal:
Aber wieso ist das 0? ich habe doch keine Werte für gegeben und wenn ich nehme erhalte ich doch


Was mache ich falsch?
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Bei welcher Aufgabe bist du eigentlich? Ist das a)?
pizzaschachtel Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, a.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Schau dir die Bedingung an: . Da fallen mir tausend Möglichkeiten für ein. Zum Beispiel , d.h. die in a) beschriebene Menge ist sicher nicht leer:



Dagegen liegt nicht in , da nicht erfüllt ist. Aber auch liegt nicht in , obwohl gilt. Kennst du den Grund?
pizzaschachtel Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, man bin ich blöd Big Laugh
Weiß nun wie man keine Leere Menge beweist ...
Nehme ich jetzt
um 2. und 3. zu beweisen?

z.B.bei Multiplikation:
für macht <-- es ist also wahr?

und für 3. (Addition)

macht
<-- ist es also auch wahr?

Habe ich das so richtig verstanden?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du mußt diese Dinge nur eben allgemein überprüfen, nicht an Beispielen.

(A+) Abgeschlossenheit bezüglich der Addition
Du mußt zeigen, daß wenn und sind, daß dann auch ist.

(A·) Abgeschlossenheit bezüglich der skalaren Multiplikation
Du mußt zeigen, daß wenn und ist, daß dann auch gilt.

Oder du mußt diese Aussagen widerlegen. Dafür genügt ein Gegenbeispiel. (Wie war das noch einmal mit den rationalen und irrationalen Zahlen? Und was waren dann die reellen Zahlen?)
pizzaschachtel Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, meinst du also:

2. Multipliakation:

<-- aber wie zeige ich, dass das gilt? Ist das schon der Beweis?

Wie zeige ich das an der Addition?

<-- das ist doch kein allgemeiner Beweis, oder? Muss ich das nun ausklammern?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du darfst in einem Beweis Voraussetzung und Behauptung nicht vertauschen!

(A+) wird folgendermaßen bewiesen:
Wir gehen aus davon, daß und sind. Damit sind zwei Dinge verbunden: (i) und (ii) sowie . Denn so ist die Menge festgelegt. Jetzt betrachten wir die Summe



Wir müssen nun beweisen, daß auch beide Bedingungen (i),(ii) erfüllt. Zunächst rechnen wir die Summe aus:



Bedingung (i): , denn ist abgeschlossen bezüglich der Addition

Bedingung (ii):

Beide Bedingungen sind erfüllt. Daher gilt (A+). Der kleine, aber entscheidende Beweistrick war hier, die Summenglieder geschickt zu ordnen und zusammenzufassen, damit entsteht.

Und jetzt überprüfe selbst (A·). Was da zu tun ist, siehe meinen vorigen Beitrag. Achte auf den Unterschied zwischen und . (Ich habe das inzwischen so oft gesagt, daß dir eigentlich aufgefallen sein sollte, daß da der Kern des Problems ist.)
pizzaschachtel Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich probiers gleich, hab vorher nur schon mal noch ne Frage zu nem Vorherigen Beispiel:

Zitat:
Dagegen liegt nicht in , da nicht erfüllt ist. Aber auch liegt nicht in , obwohl gilt. Kennst du den Grund?

Nein, ich kenne den Grund nicht, kannst du ihn mit bitte nennen? Weil \sqrt{2} nicht in ist?

Nun zum (A·)
Voraussetzungen:
(i)
(ii) und
Nebenfrage: Darf man denn da so einfach annehmen?



Bedingung (i)

Nebenfrage: Was heißt die Menge ist abgeschlossen?

Bedingung (ii)


Ist das richtig?

Zitat:
Achte auf den Unterschied zwischen und

Was genau ist der Unterschied, in diesem Falle?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pizzaschachtel
Nun zum (A·)
Voraussetzungen:
...
(ii) und
Nebenfrage: Darf man denn da so einfach annehmen?


Wie kommst du darauf? Das ist nicht vorausgesetzt!

[attach]11697[/attach]

Hier bei a) steht ja die Voraussetzung:
Und dann scheinst du mein (A·) überhaupt nicht durchgelesen zu haben ...
pizzaschachtel Auf diesen Beitrag antworten »

Neu:
Voraussetzungen:

und die gehören alle zu Q

So, der Beweis:
, weil ,oder?
Richtig?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du beachtest schlichtweg (A·) nicht. Wo ist zum Beispiel das , von dem dort die Rede ist, bei dir? Du kannst natürlich statt auch oder sonst was sagen, wenn dir das lieber ist. Entscheidend ist, daß die skalare Multiplikation vorkommen muß. Und dann geht es auch nur um einen Vektor , ein zweiter Vektor kommt da gar nicht vor. Und das Multiplizieren der Koordinaten solltest du jetzt lassen. Davon ist nirgendwo die Rede, weder in der Definition der Menge noch in den Vektorraumaxiomen.
pizzaschachtel Auf diesen Beitrag antworten »

Sry, aber ich verstehe das irgendwie nicht mehr ...
Ich habe doch ein vor dem Vektor. Warum ist das nun falsch?
Was ist überhaupt (A·)?
Kannst du nicht einfach mal ein Beispiel bitte geben, was du meinst?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Moderatoren

Ich möchte die Moderatoren bitten, den vorigen Beitrag von pizzaschachtel (14.13 Uhr) wiederherzustellen. Sonst versteht man meinen Einwand nicht.


@ pizzaschachtel

Laß weg. Das braucht man nicht.
Jetzt hast du (ii) nachgewiesen. Wie ist es aber mit (i)?
pizzaschachtel Auf diesen Beitrag antworten »

(i) ist doch, dass
Wie weißt man das denn nach? Ich habe überhaupt keine Idee. Wie soll das gehen, kannst du einen Tipp geben?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Bei ist das vorausgesetzt! Du mußt da nichts nachweisen. Nachweisen oder widerlegen mußt du das bei .
pizzaschachtel Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber wie geht das? Ich lese mir gerade unsere Skripte durch, komme damit jedoch überhaupt nicht klar ... -_-
Wie kann man denn beweisen, ob etwas in einer Menge ist. So:
mit Lambda = 0 --> und das ist ja in Q erhalten ... aber das kann doch net stimmen, oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest auch einmal die andere Möglichkeit bedenken, daß es gar nicht bewiesen werden kann, weil es nämlich falsch ist.
pizzaschachtel Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt,
aber wenn ich nicht weiß wie man es beweist, dann weiß ich doch auch nicht, wann der Beweis denn falsch ist ...
Ich muss jetzt leider weg, komme abends aber noch mal wieder.

Ich verstehe leider immer noch nicht, warum man das ganze überhaupt macht und braucht,
vielleicht finden sich heute Abend noch einmal ein paar Beiträge drinne, die ich dann vielleicht verstehen, denn ich lasse es mir evtl jetzt erklären, wenn ein anderer das weiß^^

Bis später
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Lösung der Aufgabe a)

Bei der dort angegebenen Menge handelt es sich um keinen Untervektorraum von , da bezüglich der skalaren Multiplikation nicht abgeschlossen ist. Ein Gegenbeispiel:








Das war's. Mehr ist zu a) nicht zu sagen.
pizzaschachtel Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, so ist das gemeint? verwirrt
Okay, wie doof, dass ich das nicht verstanden habe^^
Ich muss also Nachweisen, dass es für alle Lambda gilt, oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pizzaschachtel
Achso, so ist das gemeint? verwirrt
Okay, wie doof, dass ich das nicht verstanden habe^^
Ich muss also Nachweisen, dass es für alle Lambda gilt, oder?


Es? Was?
Meist ist "es" eine "Ausrede", die zeigt, daß der Betreffende noch nicht so richtig weiß, worum es geht. Sonst würde er es nämlich sagen, statt mit "es" im Nebulösen zu bleiben.
Vielleicht überlegst du dir einmal, daß, wenn du bei a) durch ersetzt, dann tatsächlich ein Unterraum wäre.
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