Matrix-Aufgabe

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28.09.2006, 14:45	a-flow	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix-Aufgabe Hallo, mit folgender Aufgabe komme ich nicht klar! Im Jahr 2005 hatten 27% der Bevölkerung einer Region ein hohes, 43% ein niedriges Einkommen. Der jährliche Wechsel zwischen den Gruppen mit hohem, mittlerem und niedrigem Einkommen wurde in folgender Übergangsmatrix übertragen: \|0,8 0,2 0,1\| A = \|0,1 0,6 0,2\| \|0,1 0,2 0,7\| Aus dem Text habe ich mir noch den Stratvektor wie unten dargestellt gezogen: \|0,27\| v = \|0,3 \| \|0,43\| Gefragt ist jetzt nach der Einkommensverteilung im Jahr 2004! Ich weiß, das es wohl 2 Möglichkeiten gibt diese Aufgabe zu lösen. Zum ersten kann man das über die Inverse-Matrix machen und über eine Gleichung die ungefähr so aussehen müsste: (E-A)v=0 Wäre toll, wenn ihr mir da weiterhelfen könntet!!! Achja, um die Grenzverteilung bzw. den Grenzvektor zu bestimmen, muss ich doch einfach (E-A)g=0 ausführen oder? VIELEN DANK!!!
28.09.2006, 15:18	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Über die Inverse Matrix geht das: $\begin{eqnarray} M \cdot \vec{x}=\vec{y} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \vec{x}=M^{-1} \cdot \vec{y} \end{eqnarray}$ wobei M^-1 die inverse Matrix ist und y der bekannte Vektor. Du kannst das ganze auch über ein lineares Gleichungssystem machen. Dafür nimmst du die erste Gleichung und multiplizierst sie mit dem Vektor einfach aus (Koordinaten: x1,x2,x3). Dann löst du das LGS. Um die Grenzverteilung auszurechnen haben wir (in der Schule) immer folgendes berechnet: $\begin{eqnarray} M \cdot \vec{x}=\vec{x} \end{eqnarray}$ , denn der Ausgangswert muss ja gleich dem Ergebnisvektor sein (stationäre Verteilung) und dann das LGS gebildet und gelöst. Aber vielleicht gibt es doch noch einfachere Wege... Deine Gleichungen sagen mir jetzt nicht ganz so viel; soll E die Einheitsmatrix sein? Und g der Grenzvektor? Gruß MI
28.09.2006, 15:35	a-flow	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank... Ja genau E=Einheitsmatrix und g=Grenzvektor Ich habe auch mal ein wenig rumgerechnet und habe für die Grenzverteilung folgendes rausbekommen: \|0,42\| \|0,26\|=g \|0,32\| kann das so stimmen? Ich habe noch mehr Fragen zu deiner Beschreibung um an das Einkommensverhältnis des vorjahres zu kommen, aber ich muss jetzt eben meine Freundin von der Arbeit abholen... melde mich gleich wieder!
28.09.2006, 15:57	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerundet auf zwei Nachkommastellen habe ich dasselbe heraus. Allerdings geht das da weiter."Korrekter" wäre es, die Werte in Brüchen auszudrücken, ich habe: dann den Vektor: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{8}{19} \\ \frac{5}{19} \\ \frac{6}{19} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das ist ungefähr dasselbe... \Edit: Eine kleine Präzisierung meiner Beschreibung zum Berechnen der Verteilung vor einem Jahr: $\begin{eqnarray} A \cdot \vec{x} = \begin{pmatrix} 0,27 \\ 0,3 \\ 0,43 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Soweit so gut (bis dahin verständlich?): Wenn du jetzt mit der Inversen Matrix A^-1 auf beiden Seiten erweiterst erhätst du: $\begin{eqnarray} A^{-1} \cdot A \cdot \vec{x} = A^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 0,27 \\ 0,3 \\ 0,43 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Eine Matrix mal ihre Inverse ist gleich die Einheitsmatrix: $\begin{eqnarray} E \cdot \vec{x} = A^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 0,27 \\ 0,3 \\ 0,43 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und die Einheitsmatrix mal ein Vektor ist gleich der Vektor: $\begin{eqnarray} \vec{x} = A^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 0,27 \\ 0,3 \\ 0,43 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
28.09.2006, 17:45	a-flow	Auf diesen Beitrag antworten »
mmmmhhh Ich soll also die Matrix "A" mit meinem gegebenen Vektor (v) multiplizieren und gleich dem Vektor setzen? A * v = v das Ergebnis ist dann die Verteilung von vor einem Jahr? Das ist jetzt der Weg ohne Inverse, ja? Der Weg mit der Inversen scheitert wahrscheinlich schon daran, dass ich nicht mehr wirklich weiß, wie ich die Inverse bilde :-( Aber so ungefähr haut das hin ja? VIELEN DANK!!!
28.09.2006, 18:17	a-flow	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, ich habe jetzt nach viel probieren folgendes für die Einkommensverteilung im Vorjahr raus: \|0,2\| \|0,3\|=v-1 \|0,5\| Kommt das ungefähr so hin? Ich habe einfach die Matrix A mit dem gegebenen Startvektor gleichgesetzt. Könnte mir jemand kurz und knapp erklären, wie ich an die Inverse komme?! DANKE!!!
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28.09.2006, 18:42	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, nein, da hast du etwas falsch gelesen. Das mit demselben Vektor, das gilt für den Grenzvektor (der ja bedeutet, dass die Verteilung "stationär" ist, sich also nicht verändert). Weil: Wenn du Ax=x setzt, dann heißt das: Was immer du für x einsetzt, die Matrix muss so aussehen, dass wieder x rauskommt (die Verteilung ändert sich nicht, sie ist stationär) und das ist genau das, was du als "Grenzvektor" kennst. Guck dir mein EDIT aus meinem letzten Post an. Das ist, was du machen kannst. Wenn du NICHT weißt, wie du an die Inverse kommst (wie du ja sagst), dann löse die Gleichung $\begin{eqnarray} A \cdot \vec{v}=\vec{y} \end{eqnarray}$ mit y=dem bekannten Vektor (0,27;0,3;0,53) in ein Gleichungssystem: $\begin{eqnarray} 0,8x_1+0,2x_2+0,1x_3=0,27 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0,1x_1+0,6x_2+0,2x_3=0,3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0,1x_1+0,2x_2+0,7x_3=0,53 \end{eqnarray*}$ Das erhälst du, wenn du die Multiplikation ausführst. Versuch es damit Warum das Ganze: Wenn du einen Verteilungsvektor mit deiner Matrix multiplizierst, dann bekommst du ja die Verteilung für das nächste Jahr. Wenn du also schon die Verteilung für das nächste Jahr kennst, dann musst du ja die Matrix mit einem unbekannten Vektor multiplizieren - und du bekommst das für das nächste Jahr heraus - das ist das, was oben gemacht wurde. Gruß MI
28.09.2006, 18:58	a-flow	Auf diesen Beitrag antworten »
Verdammt... mir brummt schon der Schädel! Ich muss das morgen an der Tafel vorführen Also deinen zuletzt erwähnten Ansatz verstehe ich zwar, aber ich kann es nicht umsetzen! Irgendwas mache ich beim lösen des LGS' falsch! Ich habe jetzt die 2. und 3. mit 8 multipliziert und anschließend mit der 1. subtrahiert um "führende Nullen" zu bekommen. Aber dann werden die Zahlen furchtbar gruoß und ich lande wieder bei dem Ergebnis: \|0,2\| \|0,3\|=v-1 \|0,5\| Was mach ich bloß falsch?! Eine andere Überlegung wäre, wie man das mit der Inversen macht! Verstanden habe ich das auch, aber wie zum Henker krieg ich diese Inverse?! Ich habe gelesen, dass es Matrizen gibt, die überhaupt keine Inverse haben! Ist das so eine, oder woran erkenne ich eine Matrix mit oder ohne Inverse? VIELEN DANK DU BIST EINE WIRKLICH GROSSE HILFE!!!
28.09.2006, 19:03	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
DEIN ERGEBNIS IST RICHTIG! Der Beitrag war irgendwie nicht zu sehen, als ich meinen schrieb... Mein "falsch" bezog sich auch nur auf den Ansatz. Gruß MI
28.09.2006, 19:10	a-flow	Auf diesen Beitrag antworten »
HALLELUJA!!! Meinst du das hat noch Sinn, das ganze mit der Inversen nochmal zu machen? Ich habe mir jetzt folgendes Gebilde aufgebaut: \|0,8 0,2 0,1 \| 1 0 0\| \|0,1 0,6 0,2 \| 0 1 0\| \|0,1 0,2 0,7 \| 0 0 1\| Ich habe das auch schonmal gemacht, aber ich weiß leider nicht mehr wie?! Zudem weiß ich nicht, ob die Matrix überhaupt eine Inverse hat?! Imprinzip ist das mit der Inversen doch nur Sinnvoll, wenn man noch weiter zurück will oder? Vielen Dank nochmal
28.09.2006, 19:12	a-flow	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist denn mein Ansatz das LGS zu lösen sinnvoll? Ich habe jetzt die 2. und 3. mit 8 multipliziert und anschließend mit der 1. subtrahiert um "führende Nullen" zu bekommen.
28.09.2006, 19:13	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Inverse bekommt man folgendermaßen (hier ein Beispiel). $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 & -2 &\|& 1 & 0 \\ 2 & 1 &\|& 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt versucht man, die Einheitsmatrix links zu bekommen, dann hat man die Inverse rechts. Also: (1 Schritt): Ich multipliziere die zweite Gleichung mit -2 und addiere sie zuer ersten: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 & -2 &\|& 1 & 0 \\ 0 & -4 &\|& 1 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also: Rechenregeln wie beim LGS. Und dann macht man weiter und bekommt irgendwann: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 &\|& \frac{1}{8} & \frac{1}{4} \\ 0 & 1 &\|& -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt kann man noch die Probe machen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 2 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{8} & \frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} =E \end{eqnarray}$ Wenn das stimmt, dann ist die zweite Matrix die Inverse zur ersten (oder halt umgekehrt). Dasselbe machst du mit einer 3,3 Matrix. Vorgehensweise: Immer erst alle Zahlen unter der Hauptdiagonalen zu 0 machen (wie ich das bei meinem Beispiel im ersten Schritt schon getan hatte, war halt nur eine 2,2 Matrix), dann die anderen Zahlen zu 0 machen. Such auch mal in den Workshops, vielleicht ist da noch eine ausführlichere Beschreibung. Gruß MI (der jetzt schwimmen geht) \EDIT: Dein Ansatz mit dem LGS ist genauso richtig. Ob du es jetzt noch einmal durchführen möchtest ist deine Sache (zur Probe sicherlich ganz gut). \EDIT2: Jetzt sehe ich auch deinen zweiten Beitrag. Ja, so ist das schon mal gut.
28.09.2006, 19:16	a-flow	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke und viel Spaß beim Schwimmen... Tschö mit Ö

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