Mathematischer Beweis: Poission-Verteilung

29.10.2009, 13:07

Mizzle

Mathematischer Beweis: Poission-Verteilung

Hallo!

Ich beschäftige mich im Moment mit der Poisson-Verteilung:

$\begin{eqnarray*} P(N) = \frac{\overline{N}^{N}}{N!} \cdot e^{- \overline{N}} \end{eqnarray*}$

Nun möchte ich mathematisch beweisen, dass die Poisson-Verteilung im Falle kleiner Werte von $\begin{eqnarray*} \overline{N} \end{eqnarray*}$ (soll heißen: $\begin{eqnarray*} \overline{N} \end{eqnarray*}$ << 1) proportional zu $\begin{eqnarray*} e^{-a \cdot N} \end{eqnarray*}$ ist. Außerdem möchte ich a als Funktion von $\begin{eqnarray*} \overline{N} \end{eqnarray*}$ ausdrücken.

Ich hab jetzt schon die folgenden Überlegungen angestellt:

$\begin{eqnarray*} P(N) = \frac{\overline{N}^{N}}{N!} \cdot e^{- \overline{N}} \end{eqnarray*}$ , da ist $\begin{eqnarray*} e^{- \overline{N}} \end{eqnarray*}$ auf jeden Fall konstant, ändert also nichts an der Proportionalität.

Also muss ich noch zeigen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\overline{N}^{N}}{N!} \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} e^{-a \cdot N} \end{eqnarray*}$

Jetzt fallen mir noch Sachen ein, wie z.B.:

$\begin{eqnarray*} N \in \mathbb N_{0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline{N} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} 0 \leq \overline{N} < 1 \end{eqnarray*}$ .

Mir ist also völlig klar, dass $\begin{eqnarray*} \frac{\overline{N}^{N}}{N!} \end{eqnarray*}$ bei größer werdendem N immer kleiner wird und das gilt auch für $\begin{eqnarray*} e^{-a \cdot N} \end{eqnarray*}$ . Außerdem kann der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \overline{N}^{N} \end{eqnarray*}$ höchstens = 1 sein.

Aber wie zeige ich jetzt, dass wenn ich N verdopple, dass das andere dann auch doppelt so groß wird? Also wie zeige ich die Proportionalität und wie drücke ich a als Funktion von $\begin{eqnarray*} \overline{N} \end{eqnarray*}$ aus?

Danke für Lösungsansätze und Hinweise.

Viele Grüße, Mizzle

29.10.2009, 13:12

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Zitat:

Original von Mizzle
Nun möchte ich mathematisch beweisen, dass die Poisson-Verteilung im Falle kleiner Werte von $\begin{eqnarray*} \overline{N} \end{eqnarray*}$ (soll heißen: $\begin{eqnarray*} \overline{N} \end{eqnarray*}$ << 1) proportional zu $\begin{eqnarray*} e^{-a \cdot N} \end{eqnarray*}$ ist.

Eine solche, für alle N gültige Proportionalität besteht nicht. unglücklich

29.10.2009, 13:14

Mizzle

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Tja, leider muss ich aber genau das auf meinem Physik-Übungszettel für die Uni zeigen. Ich hab mir schon viele Gedanken gemacht, aber so das "Aha-Erlebnis" hatte ich leider noch nicht. ;-)

Original: Zeigen Sie durch mathematischen Beweis, dass die Poisson-Verteilung im Falle kleiner Wert von $\begin{eqnarray*} \overline{N} \end{eqnarray*}$ (d.h. $\begin{eqnarray*} \overline{N} << 1 \end{eqnarray*}$ ) proportional zu $\begin{eqnarray*} exp(-a \cdot N) \end{eqnarray*}$ ist, und drücken Sie die Konstante a als Funktion von $\begin{eqnarray*} \overline{N} \end{eqnarray*}$ aus.

So sieht's leider aus... :-)

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