Cantor-Menge, Jordan-Messbarkeit

29.10.2009, 13:32	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Cantor-Menge, Jordan-Messbarkeit Hallo! Ich hab mich mal bei euch angemeldet, um einerseits vielleicht einige Denkanstöße von euch zu bekommen und vlt. auch dem einen oder anderen weiterzuhelfen. Nun zu meiner Frage. Es geht um die Cantormenge. Bei uns ist die so definiert, dass man aus dem Intervall $\begin{eqnarray} [0,1] \subset \mathbb{R} \end{eqnarray}$ das offene Intervall $\begin{eqnarray} (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}) \end{eqnarray}$ herausnimmt, dann diese neue Menge $\begin{eqnarray} G_1 \end{eqnarray}$ nennt, daraus wieder das mittlere Intervall herausnimmt, etc. ... Dann ist die Cantor-Menge $\begin{eqnarray} C = \bigcap_{n = 1}^{\infty}{G_n} \end{eqnarray}$ . Nun soll überprüft werden, ob C Jordan - messbar ist, also mit endlich vielen Quadern überdeckt werden kann. Darüber haben wir diskutiert, während einige in meinem Studiengang meinen, sie sei Jordan-messbar, meine ich das Gegenteil. Für das äußere Maß $\begin{eqnarray} \|C\|_a \end{eqnarray}$ gilt meiner Meinung nach $\begin{eqnarray} \|C\|_a \end{eqnarray}$ = 1, denn man muss das gesamte Intervall [0,1] mit einem Quader der Länge 1 überdecken, da $\begin{eqnarray} 1 \in C \ni 0 \end{eqnarray}$ . Andererseits ist das innere Maß $\begin{eqnarray} \|C\|_i \end{eqnarray}$ = 0, da C ein unendlicher Schnitt aus einzelnen Punkten ist, weil die Intervalle mit steigendem n immer feiner werden. Unendlich viele Punkte kann man aber nicht mit endlich vielen Quadern überdecken. Hab ich irgendwo einen Denkfehler? Wäre dankbar für Hilfe.
29.10.2009, 16:56	Corantie	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey musst auch manchmal Leuten helfen um eine korrekte Antwort von den zu kriegen ok, alles klar?
30.10.2009, 07:54	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach etwas Recherchieren habe ich rausgefunden, dass das Jordan-Maß von C Null ist. Trotzdem verstehe ich es noch nicht so ganz, was ist denn an meiner Argumentation. Als Anmerkung habe ich noch, dass C überabzählbar ist, deshalb kam ich auf die unendliche Vereinigung von einzelnen Punkten. Dennoch müssen auch 0 und 1 überdeckt werden, wie geht das dann mit endlich vielen Quadern?
30.10.2009, 10:58	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein bissel suchen hat mir das hier geliefert. Vielleicht hilft es.
30.10.2009, 11:11	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, danke schon mal, aber den Teil der Aufgabe habe ich selber hingekriegt. Meines Erachtens wird in dem Thread gezeigt, dass C eine Lebesgue-Nullmenge ist, dazu wird die sigma - Additivität genutzt, also überabzählbare Schnitte. Aber das darf ich eben nicht benutzen, weil ich ja hier vom Jordan - Inhalt spreche, das heisst, ich brauche eine endliche Vereinigung von Intervallen ... Der Jordan - Inhalt ist ja auch gar kein Maß, weil eben die sigma - Additivität flöten geht ... bin da echt etwas ratlos zurzeit ...
30.10.2009, 11:19	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde da vielleicht trotzdem ähnlich Argumentieren. Sagen wir wir nehmen die von Arthur Dent vorgeschlagene Folge $\begin{eqnarray} I_n \end{eqnarray}$ Du kannst jedem $\begin{eqnarray} I_n \end{eqnarray}$ ein Jordanmaß zu ordnen. Ansonsten gibt es noch folgenden Satz. Es bezeichne $\begin{eqnarray} A° \end{eqnarray}$ das Innere einer Menge A und $\begin{eqnarray} \overline{A} \end{eqnarray}$ den Abschluss. Sei A beschränkt, dann ist A genau dann Jordanmessbar wenn $\begin{eqnarray} \lambda^p(A°) = \lambda^p(\overline{A}) \end{eqnarray}$ gilt. Wenn ich micht nicht irre besteht die Kantormenge nur aus Randpunkten. D.h das innere ist leer. Der Abschluss ist dann die Menge selber. Hm, das bringt nichts, weil wir immernoch das Jordanmaß der Menge brauchen. Schade
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30.10.2009, 11:21	Mario	Auf diesen Beitrag antworten »
Das äußere Maß ist Null: betrachte einfach die k-te Iterationsstufe, für die bekommst Du die Summe der Volumina der äußeren Quader beliebig weit an (2/3)^k "gedrückt". Diese Quader überdecken jeweils auch ganz C. Lg Mario PS: Sorry, hat sich mit dem Beitrag von 10:58 überschnitten...

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