Kreisgleichung, die durch angegebene Punkte verläuft. |
| 29.10.2009, 13:51 | Steewie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Kreisgleichung, die durch angegebene Punkte verläuft. Gesucht ist eine Gleichung des Kreises, der durch die Punkte A und B geht und den Radius r hat. Wieviele solcher Kreise gibt es? A=(4/11), B(-9/-2), r=13 Zeichnerisch kommt daraus, dass es nur einen Kreis gibt. Rechnerisch komme ich aber nicht weiter. Ich habe bis jetzt folgendes gemacht: Punkt A in die Kreisgleichung setzen (4-Xm)²+(11-Ym)²=13² Binomische Formel anwenden 16-8Xm+Xm²+121-22Ym+Ym²=169 -8Xm+Xm²-22Ym+Ym²=32 Punkt B in die Kreisgleichung setzen (-9-Xm)²+(-2-Ym)²=13² Binomische Formel anwenden -81-18Xm+Xm²-4-4Ym+Ym²=169 -18Xm+Xm²-4Ym+Ym²=32 Ja.. jetzt hab ich zwei komische Formeln und weiß nicht weiter. Ich hab schon gedacht Additionsverfahren, aber irgendwie klappt das nicht. Wäre das denn bis dahin erstmal richtig? 
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| 29.10.2009, 14:00 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Kreisgleichung, die durch angegebene Punkte verläuft.
Die Kreise um und vom Radius 13 schneiden sich in zwei Punkten. |
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| 29.10.2009, 14:01 | Rumpfi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da hätt ich mal ne Frage zur Angabe. Muss der Rand des Kreises durch die Punkte A und B gehen oder müssen die Punkte innerhalb des Kreises sein? |
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| 29.10.2009, 14:05 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei solchen Aufgaben ist mit "Kreis" immer "Kreislinie" gemeint. "Kreis durch A" heißt, daß der Punkt A auf der Kreislinie liegt. |
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| 29.10.2009, 14:06 | Steewie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Rand des Kreises muss die Punkte schneiden. Und Leopold: Das ist nicht die Frage. Die Frage ist, wieviele Kreise es mit dem Radius 13 gibt, die beide Punkte A und B schneiden. |
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| 29.10.2009, 14:12 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn 13 Einheiten vom gesuchten Mittelpunkt entfernt ist, dann ist auch 13 Einheiten von entfernt, also liegt auf dem Kreis um vom Radius 13. Entsprechend mit . |
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| 29.10.2009, 14:20 | Steewie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja klar, so habe ich es auch zeichnerisch gelöst 
Die Frage ist nur wie man da rechnerisch drauf kommt. |
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| 29.10.2009, 14:27 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine Möglichkeit wäre es, die Gleichungen der beiden Kreise (um bzw. ) aufzustellen und ihre Schnittpunkte zu berechnen. Das sind dann die gesuchten Mittelpunkte und . Ich sehe gerade, daß du das in deinem ersten Beitrag schon gemacht hast. Aus deinen beiden Gleichungen erhältst du durch Subtraktion eine Gleichung ohne quadratische Glieder. Damit hast du eine dritte Gleichung (übrigens die Gleichung der Symmetrieachse von und ). Diese und eine der beiden Startgleichungen führen dich ans Ziel. EDIT In der zweiten Rechnung hast du Vorzeichenfehler. Beachte |
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| 29.10.2009, 14:30 | Steewie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja... Wenn ich die beiden Gleichungen subtrahiere, habe ich eine neue Gleichung, die ich wieder in eine der anderen einsetzen kann. Aber da komm ich ja nicht weiter. Weil ich dann wieder unbestimme, quadratische X oder Y-Punkte habe. |
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| 29.10.2009, 14:44 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du kannst doch die Gleichung zum Beispiel nach auflösen und das in eine der Startgleichungen einsetzen. Dann erhältst du eine quadratische Gleichung in . Beachte auch das EDIT aus meinem vorigen Beitrag. |
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| 29.10.2009, 14:51 | Steewie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, nehmen wir an ich löse nach Ym auf. Dann setze ich das in eine der Gleichungen ein, hab dann aber trotzdem noch was mit Exponenten. Wegen dem Ym². Dann kann ich ja auch nicht Xm rauskriegen, weil ich dann auch noch Xm² hab. |
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| 29.10.2009, 14:58 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine quadratische Gleichung zu lösen, sollte nicht das Problem sein. |
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| 29.10.2009, 15:07 | Steewie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1. -8Xm+Xm²-22Ym+Ym²=32 2. 18Xm+Xm²-4m+Ym²=254 10Xm-18Ym=-222 10Xm=-222+18Ym Xm=-22,2+1,8Ym In 1. einsetzen -8*(-22,2+1,8Ym)+(-22,2+a,8Ym)²-22Ym+Ym²=32 Ist das denn bis dahin richtig oder sind da Fehler drin? |
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| 29.10.2009, 15:24 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Rechne noch einmal nach. |
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| 29.10.2009, 15:32 | Steewie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
2. 18Xm+Xm²+4Ym+Ym²=84 So?????? |
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| 29.10.2009, 15:33 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So! |
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| 29.10.2009, 15:40 | Steewie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1. -8Xm+Xm²-22Ym+Ym²=32 2. 18Xm+Xm²+4Ym+Ym²=84 10Xm-26Ym=-52 10Xm=-52+26Ym Xm=-5,2+2,6Ym In 1. einsetzen -8*(-5,2+2,6Ym)+(-5,2+2,6Ym)²-22Ym+Ym²=32 41,6-20,8Ym-27,04+6,76Ym²+Ym²=32 Auch richtig? ^^ |
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| 29.10.2009, 15:43 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schau dir insbesondere das x an. |
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| 29.10.2009, 15:49 | Steewie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm, da weiß ich's nicht. -8--18 ist doch 10! |
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| 29.10.2009, 15:50 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| 29.10.2009, 15:56 | Steewie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh ups, da war noch der Fehler von vorher im Kopf 
Also 1. -8Xm+Xm²-22Ym+Ym²=32 2. 18Xm+Xm²+4Ym+Ym²=84 -26Xm-26Ym=-52 -26Xm=-52+26Ym Xm=2-1Ym In 1. einsetzen -8*(2-1Ym)+(2-1Ym)²-22Ym+Ym²=32 -16+8Ym+4-1Ym²-22Ym+Ym²=32 |
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| 29.10.2009, 15:59 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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| 29.10.2009, 16:09 | Steewie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1. -8Xm+Xm²-22Ym+Ym²=32 2. 18Xm+Xm²+4Ym+Ym²=84 -26Xm-26Ym=-52 -26Xm=-52+26Ym Xm=2-1Ym In 1. einsetzen -8*(2-1Ym)+(2-1Ym)²-22Ym+Ym²=32 -16+8Ym+4-2Ym-2Ym+Ym²-22Ym+Ym²=32 -18Ym+2Ym²=44 |
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| 29.10.2009, 16:17 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt noch durch 2 teilen (ist hübscher!) und die quadratische Gleichung lösen (Mitternachtsformel oder Faktorzerlegung erkennen; Satz von Vieta). Mit den berechneten -Werten kannst du dann oben in das zugehörige ausrechnen. So bekommst du deine beiden Mittelpunkte. |
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| 29.10.2009, 16:27 | Steewie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Edit: Juhhuuuu und das stimmt, das passt nämlich mit meiner Zeichnung 
Vielen vielen Dank für Ihre Geduld und Hilfe
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| 29.10.2009, 16:29 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hier einsetzen! |
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| 29.10.2009, 16:32 | Steewie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja okay, wäre wohl einfacher gewesen
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