Grenzwert

29.10.2009, 13:58

Rumpfi

Grenzwert

Ich hab eine Frage zu Grenzwerten. Dazu 2 beispiele

1.
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2})^{n} \end{eqnarray*}$

Ist der Grenzwert divergent oder 0, da $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2} }{2} < 1 \end{eqnarray*}$ ist?

2.
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n}{3^{n}} \end{eqnarray*}$

Ist der Grenzwert konvergent, weil der Nenner eine 3er-Potenz zu unendlich ist und $\begin{eqnarray*} n \leq 3^{n} \end{eqnarray*}$ ?

Ich bitte um Hilfe, diese 2 Beispiele zu erklären.

mfg Rumpfi

PS: Ich kenne den Unterschied zwischen konvergent (hat Grenzwert) und divergent (hat keinen Grenzwert)

29.10.2009, 14:03

Leopold

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RE: Grenzwert

Zitat:

Original von Rumpfi
Ist der Grenzwert divergent ...

...

Ist der Grenzwert konvergent ...

Falscher Sprachgebrauch! Folgen sind konvergent oder divergent, niemals Grenzwerte. Konvergente Folgen besitzen einen eindeutig bestimmten Grenzwert.

29.10.2009, 14:06

Rumpfi

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Meine Aufgabenstellung lautet:

Sind die folgenden Folgen konvergent? Geben Sie gegebenenfalls den Grenzwert an.

Edit:
$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2})^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{3^{n}} \end{eqnarray*}$

29.10.2009, 14:13

Leopold

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So ist die Aufgabenstellung richtig.
Hat die Folge in a) nun einen Grenzwert? Dann wäre sie konvergent. Was ist gegebenenfalls der Grenzwert?

29.10.2009, 14:16

Kopfrechner

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Du hast vermutlich schon Kriterien kennengelernt, mit denen man Konvergenz untersucht.

29.10.2009, 14:24

Rumpfi

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Zitat:

Original von Leopold
So ist die Aufgabenstellung richtig.
Hat die Folge in a) nun einen Grenzwert? Dann wäre sie konvergent. Was ist gegebenenfalls der Grenzwert?

Für a) wäre der Grenzwert 0, da für Potenzen < 1 gilt $\begin{eqnarray*} 0 \leq x^{n}\leq 1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall x < 1 \end{eqnarray*}$ .

Ist das auch immer so, wenn der Nenner eine Potenz ins unendliche ist (3^n)?

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