Zufallsvariable

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Ambrosius Auf diesen Beitrag antworten »
Zufallsvariable
Mal schauen, ob ich das richtig verstanden habe, und nun auf die Kette bekomme:

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum und ein Messraum. heißt Zufallsvariable (oder auch - -messbar) wenn gilt:

mit wobei eine Teilmenge der Potenzmenge ist


Also ist eine zufallsvariable eine Abbildung eines Wahrscheinlichkeitraumes in einen Messraum. Für die ZV muss gelten, dass das Urbild jeder Teilmenge des Messraumes in der - Algebra des W'Raumes enthalten sein muss.

Könnte man das so sagen?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenn das ein wenig anders:

Zitat:
Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum und ein Messraum. heißt Zufallsvariable (oder auch - -messbar) wenn gilt:

für alle


Natürlich ist eine Teilmenge der Potenzmenge von , aber das reicht nicht: Die Bezeichnung Messraum impliziert, dass eine Sigma-Algebra über der Grundmenge sein muss, also nicht nur irgendeine Teilmenge der Potenzmenge.

Ein Trivialbeispiel für Messbarkeit: Ist maximal, d.h., gleich der Potenzmenge , dann ist jede Funktion messbar und damit Zufallsvariable: Denn die Bedingung ist dann äquivalent zu , und das ist ja sogar für jede Funktion und jede Teilmenge erfüllt.


Der andere Extremfall, der allerdings nur von theoretischem Interesse ist:
Wenn minimal ist, d.h. (kleiner Sigma-Algebren über gibt es nicht!), dann ist ebenfalls jede Funktion messbar.

Denn dann müssen nur die beiden Fälle sowie überprüft werden, was wegen sowie schnell erledigt ist - beide Urbilder liegen in , weil ansonsten gar keine Sigma-Algebra wäre.
Ambrosius Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, stimmt. Da habe ich wieder geschlampt. Muss natürlich eine - Algebra sein Hammer
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