Maximum der Fläche einer Scharfunktion

29.10.2009, 13:50

Rekop

Maximum der Fläche einer Scharfunktion

Hi, habe ein Problem bei folgender Aufgabe:
Ich soll den Parameter k der folgenden Funktion so bestimmen, dass das Schaubild mit der x-Achse ein größtmögliches (bzw. kleinstmögliches) Flächenstück hat. Zudem soll ich entscheiden ob ein Maximum oder Minimum vorliegt.

$\begin{eqnarray*} kx-\frac{1+k^{2}}{24}x² \end{eqnarray*}$

Zuerst habe ich die Nullstellen bestimmt. Eine davon war 0, die andere:

$\begin{eqnarray*} \frac{24k}{1+k^{2}} \end{eqnarray*}$

Diese habe ich dann in das Integral eingesetzt, das Integral ist:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1+k^{2}}{72}x³+\frac{1}{2}kx² \end{eqnarray*}$

Das wurde dann schon sehr unbequem. Ich bekam dann aber dennoch folgendes heraus:

$\begin{eqnarray*} \frac{96k³}{(1+k²)²} \end{eqnarray*}$

Dann dachte ich mir leite ich das Ganze ab und bestimme somit das Maximum. Doch das wurde mir dann doch sehr verdächtig. Das war viel zu aufwendig für diese Aufgabe. Irgendwo liegt also denke ich ein Fehler. Ist der logische Weg soweit richtig? Ich kann mir nicht vorstellen, das das Ganze so stimmt. Vielen Dank im Voraus.

29.10.2009, 14:01

klarsoweit

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RE: Maximum der Fläche einer Scharfunktion

Zitat:

Original von Rekop
Das war viel zu aufwendig für diese Aufgabe.

Also so aufwendig ist die Berechnung der Ableitung auch wieder nicht. Was hast du denn raus?

29.10.2009, 14:07

Rekop

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$\begin{eqnarray*} \frac{96k²(k^{4}+2k²-6k-3)}{(k²+1)^{4}} \end{eqnarray*}$

29.10.2009, 14:23

Kopfrechner

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Zitat:

Original von Rekop
$\begin{eqnarray*} \frac{96k²(k^{4}+2k²-6k-3)}{(k²+1)^{4}} \end{eqnarray*}$

Das ist zu aufwändig. Nach dem Ableiten kann man (1+k^2) aus Zähler und Nenner kürze, so daß nur noch der Nenner ^3 erscheint.
Prüfe das mal nach, dann wird die folgende Rechnung einfacher.

29.10.2009, 14:50

Rekop

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$\begin{eqnarray*} (2k²+1) \cdot 2k \cdot 96k^{3} -288k² \cdot (k²+1)² \end{eqnarray*}$

Das ist der Zähler nach dem Ableiten. Wo kriege ich hier (1+k²) auf beiden Seiten vom Minus her?

29.10.2009, 14:54

klarsoweit

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RE: Maximum der Fläche einer Scharfunktion
Ich glaube, du stehst mit der Quotientenregel auf Kriegsfuß.

Ist $\begin{eqnarray*} A(k) = \frac{96k^3}{(1+k^2)^2} \end{eqnarray*}$ , dann ist

$\begin{eqnarray*} A'(k) = \frac{288k^2 \cdot (1+k^2)^2 - 96k^3 \cdot 2(1+k^2) \cdot 2k}{(1+k^2)^4} \end{eqnarray*}$

29.10.2009, 15:11

Rekop

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Ah, vielen Dank. Was für ein Leichtsinnsfehler. Jetzt geht es mit Substition weiter. Habe jetzt als Endergebnis +/- Wurzel 3.

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