e bestimmen

29.10.2009, 15:14

Dunja

e bestimmen

Hi,
hab einige Probleme mit der folgenden Aufgabe.
Gegeben sei folgendes Intervall:
$\begin{eqnarray*} ( [ (1+ \frac {1}{n} )^{n} , (1+ \frac {1}{n} )^{n+1} ] ) \end{eqnarray*}$

Die Fragen:
a) Zeigen Sie, dass das Intervall eine Intervallschachtelung für die EULERsche Zahl e ist.
b) Zeigen Sie, dass die Länge des n-ten Intervalls kleiner ist als e/n
c) Wie groß muß n mindestens sein, damit auf Grund dieser Abschätzung die Zahl e mit einem Fehler von höchstens 0,01 berechnen können?

meine Ansätze:
zu a)
Ich würd sagen, dass beide Teile gegen e konvergieren, wodurch dann die Differenz der beiden Folgen eine Nullfolge ist. Richtig?

zu b) hab da keinen Ansatz, da ich nicht verstehe, was gefrag ist.

zu c)
ich hab da mal den wert e mit 0,01 multipliziert und Dann habe ich diesen Wert mit der Differenz von den 2 Intervallen oben gleichgesetzt und dann nach n aufgelöst...bei mir kommt n=41 raus, wobei ich mir nicht sicher bin, ob ich die frage überhaupt richtig verstanden habe...

gruß Dunja

29.10.2009, 16:11

tmo

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zur a) Das ist richtig. Die Frage ist inwiefern du das noch beweisen musst. Wie habt ihr denn e definiert? Und was habt ihr daraus schon alles gefolgert?

zur b) Du sollst die Intervalllänge abschätzen. Die Länge des Intervalls $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ ist einfach nur $\begin{eqnarray*} b-a \end{eqnarray*}$ . In deinem Fall also?

zur c) Hier musst du die Abschätzung aus b) einfach nur anwenden.

29.10.2009, 16:40

Dunja

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wir haben e definiert durch den ersten Teil des Intervalls..also (1+1/n)^n

für e haben wir daraus gefolgert, dass (1+1/n)^n monoton wächst und echt kleiner ist als e...sonst nichts

die Intervalllänge b-a in diesem fall ist ja eine Nullfolge oder? also für n=1 ergibt die diff:
4-2=2 und konvergiert dann gegen 0....achsoo ich glaub ich hab die frage verstanden, nur wie soll ich das zeigen...durch vollständige Induktion?

29.10.2009, 16:51

tmo

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Zitat:

Original von Dunja
für e haben wir daraus gefolgert, dass (1+1/n)^n monoton wächst und echt kleiner ist als e...sonst nichts

Ok. Jetzt solltest du als nächstens beweisen, dass $\begin{eqnarray*} a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$ auch gegen e konvergiert (einfach) und zwar monoton fallend (etwas schwerer) und damit echt größer ist als e.

29.10.2009, 16:56

Dunja

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vielen Dank, ich glaub ich habs jetzt Freude

29.10.2009, 17:33

Dunja

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Naja, anscheinend doch nicht^^

zur b)
$\begin{eqnarray*} (1+ \frac {1}{n} )^{n+1}- (1+\frac {1}{n})^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(1+ \frac {1}{n} ) \end{eqnarray*}$
dass solte folglich kleiner als e/n sein
also $\begin{eqnarray*} (1+ \frac {1}{n} ) < \frac {e}{n} \end{eqnarray*}$
jedoch ist das nicht der fall...oder habe ich da was falsch gemacht....natürlich habe ich da was falsch gemacht, jedoch was^^

29.10.2009, 17:36

tmo

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Zitat:

Original von Dunja
Naja, anscheinend doch nicht^^

zur b)
$\begin{eqnarray*} (1+ \frac {1}{n} )^{n+1}- (1+\frac {1}{n})^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(1+ \frac {1}{n} ) \end{eqnarray*}$

hui? wie kommst du darauf?

29.10.2009, 17:46

Dunja

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na $\begin{eqnarray*} (1+ \frac{1}{n} )^{n} = (1+ \frac {1}{n} ) \cdot ... \cdot (1+ \frac {1}{n} ) \end{eqnarray*}$ n-mal

und $\begin{eqnarray*} (1+ \frac{1}{n} )^{n+1} = (1+ \frac {1}{n} ) \cdot ... \cdot (1+ \frac {1}{n} ) \end{eqnarray*}$ n+1-mal

zieht man das eine vom anderen ab bleibt nur noch eins davon übrig...aber anscheinend ist es falsch, da ja nicht das richtige ergbnis kommt verwirrt

29.10.2009, 17:48

tmo

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Du willst mir doch nicht wirklich erzählen, dass du denkst, dass $\begin{eqnarray*} a^{n+1}-a^n = a \end{eqnarray*}$ gilt?

Also $\begin{eqnarray*} 16-8=2^4-2^3=2 \end{eqnarray*}$ .

Das Wort "ausklammern" hast du doch bestimmt schonmal gehört.

29.10.2009, 17:59

Dunja

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ja klar...
ach bin ich blöd

(1+1/n)^n * ((1+1/n)-1)
=>(1+1/n)^n * (1/n) < e/n
=>(1+1/n)^n < e
und wird ja vorausgesetzt...vielen Dank

29.10.2009, 18:02

tmo

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Das macht schon mehr Sinn. Allerdings solltest du es dann so formulieren.

Es ist $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \cdot \frac{1}{n} < \frac{e}{n} \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n < e \end{eqnarray*}$ gilt.

29.10.2009, 19:29

maskman

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und wie hast du jetzt gezeigt, dass (1+1/n)^n+1 monoton fällt bzw. gegen e konvergiert??

30.10.2009, 09:58

tmo

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Dass die Folge gegen e konvergiert, folgt doch direkt aus den Grenzwertsätzen.

Dass sie monoton fällt solltest du zeigen können, wenn du den Beweis, dass die obige Folge, über die ihr e definiert habt, monoton steigt, verstanden hast.

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