Lineares Optimierungsproblem (3 Variablen)

29.10.2009, 15:41	pi_mal_Daumen	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineares Optimierungsproblem (3 Variablen) Hallo! Ich hätte einmal eine Frage zu linearen Optimierungsproblemen mit 3 variablen. Ich will ein LP mit Mischungsbedingungen grafisch lösen, und dann die Ecken und die Werte der Schlupfvariablen angeben. Das Problem lautet: Minimiere $\begin{eqnarray} z(x) = 5x_1+2x_2+x_3 \end{eqnarray}$ unter $\begin{eqnarray} 6x_1+2x_2+12x_3 \geq 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 12x_1+6x_2+3x_3 \geq 6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1+x_2+x_3 = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1, x_2, x_3 \geq 0 \end{eqnarray}$ Da ich noch nie so ein Problem mit 3 Variablen gelöst habe, bin ich mir nicht ganz sicher, wie ich das ganze dann auch grafisch lösen kann? Im 3-dimensionalen dürfte das recht schwer werden. Ich habe mal gehört, dass man das ganze dann auch substituieren kann, also z.B. $\begin{eqnarray} x_1+x_2+x_3 = 1 \Rightarrow x_3 = 1-x_1-x_2 \end{eqnarray}$ In die anderen beiden Gleichungen eingesetzt ergibt $\begin{eqnarray} -6x_1 -10x_2 + 12 \geq 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 9x_1+3x_2+3 \geq 6 \end{eqnarray}$ Wenn ich für diese beiden Gleichungen nun Schlupfvariablen einführe, erhalte ich $\begin{eqnarray} -6x_1 -10x_2 + 12 +y_1 = 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 9x_1+3x_2+3 +y_2 = 6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1, x_2, y_1, y_2 \geq 0 \end{eqnarray}$ Mit einem Plot bekäme ich folgendes (Anhang) (irgendwie hat der die Farben negiert) Aber daraus kann ich irgendwie schlecht die Ecken bestimmen, und die Schlupfvariablen wüsste ich auch nicht, wie ich sie so bestimmen soll. Kann mir dazu wohl jemand was sagen?

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