Mengenbestimmung mit kartesischem Produkt mit Intervallen

29.10.2009, 15:58

Mia9

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Mengenbestimmung mit kartesischem Produkt mit Intervallen

Ein ähnliche Aufgabe wie vorhin nur mit Intervallen und keinen konkreten Punkten:

Bestimmen Sie für P := [0, 1],
$\begin{eqnarray*} M := {x \in \mathbb R ; x² + 1 \leq 2x} \end{eqnarray*}$
und N := P \M die Mengen

1. M × P,
2.P × (M u N),
3.(M n N) × P
4. Potzenmenge: (M ×M).

die Menge M müssten alle $\begin{eqnarray*} x\leq 1 \end{eqnarray*}$ sein.

P\M müsste doch eine leere Menge sein - oder?

Somit müsste ich mit Intervalle das kartesische Produkt bilden - wie mache ich das??

29.10.2009, 16:22

tmo

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Zunächst solltest du M bestimmen. Das hast du bis jetzt falsch gemacht.

Es ist $\begin{eqnarray*} x^2+1 \leq 2x \Longleftrightarrow (x-1)^2 \leq 0 \end{eqnarray*}$ .

Für welche x ist das erfüllt?

29.10.2009, 16:35

Mia9

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ich denke es ist nur für x=0 möglich - also wäre die ja kein Intervall!

29.10.2009, 16:38

tmo

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Für $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (x-1)^2 = 1 \end{eqnarray*}$ und das ist definitiv größer als 0.

Du meinst aber vielleicht das Richtige.

Ist doch völlig egal ob Intervall oder Punkt oder was auch immer. Hauptsache irgendeine Menge Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.10.2009, 16:46

Mia9

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ja, ich mein natürlich x=1

trotzdem weiß ich nun nicht wie ich an die Aufgabe weiter heran gehen soll...

29.10.2009, 16:49

tmo

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Du weißt nun

$\begin{eqnarray*} P = [0,1] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M = \{1\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} N = P \setminus M = [0,1) \end{eqnarray*}$

Wo genau liegt denn nun dein Problem die geforderten Mengen anzugeben?

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29.10.2009, 16:52

Mia9

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ja genau dort liegt das Problem

MxP = {1}x [0,1)

wie schreib ich das aber richtig auf??

29.10.2009, 16:53

tmo

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Nenn mir mal irgendein Element aus $\begin{eqnarray*} M \times P \end{eqnarray*}$

29.10.2009, 16:55

Mia9

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z.B 1

29.10.2009, 16:57

Mia9

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2. multipliziere ich auch zwei Intervalle [0,1] x [0,1]
3. ebenfalls: [0,1] x [0,1]
4. ={leere Menge, {1},{1,1}}

29.10.2009, 16:57

tmo

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Nein. 1 ist eine reelle Zahl.

Ein Element aus $\begin{eqnarray*} M \times P \end{eqnarray*}$ ist aber ein 2-Tupel, also ein geordnetes Paar reeller Zahlen.

Zitat:

Original von Mia9
2. multipliziere ich auch zwei Intervalle [0,1] x [0,1]
3. ebenfalls: [0,1] x [0,1]
4. ={leere Menge, {1},{1,1}}

Ruhig...Der Reihe nach. Vergiss das erstmal wieder.

29.10.2009, 17:01

Mia9

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also für 1. {[0,1], [1,0]} als Lösung?

29.10.2009, 17:14

tmo

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Zitat:

Original von Mia9
MxP = {1}x [0,1)

Also das ist fast richtig. Es ist $\begin{eqnarray*} M\times P = \{1\} \times [0,1] \end{eqnarray*}$

So und jetzt wollen die wohl noch von dir wissen, was genau diese Menge eigentlich bedeutet.
Dazu gibst du mal ein Element aus der Menge an.
Wenn du weißt, was das kartesische Produkt bedeutet, sollte das kein Problem für dich sein.

29.10.2009, 17:16

Mia9

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Element aus dieser Menge: {[1,0],[1,1]} richtig so?

29.10.2009, 17:22

tmo

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Das ist doch Blödsinn...Du sollst mir erstmal ein einziges Element aus dieser Menge angeben.

Wenn ich ein einziges Element aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ angeben soll, sage ich z.b. $\begin{eqnarray*} \frac{3}{5} \end{eqnarray*}$ .

So und jetzt geb du mal ein einziges Element aus $\begin{eqnarray*} \{1\} \times [0,1] \end{eqnarray*}$ an. Irgendeines. Mir egal welches.

29.10.2009, 17:24

Mia9

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z.B die 1

29.10.2009, 17:26

tmo

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Ich sagte doch bereits, dass das falsch ist. Es wird nicht mehr richtiger.

Du hast offensichtlich nicht genau verstanden was das kartesische Produkt bedeutet. Versuch es mir doch mal zu erklären.

29.10.2009, 17:34

Mia9

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eine kartesisches Produkt zwischen zwei Mengen entsteht dann, wenn in dem Produkt ein element von beiden Mengen enthalten ist
also MxN .= {[m,n]: m element M und n element N} dabei sind M und N die Mengen.

29.10.2009, 18:03

Mazze

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Etwas wirr formuliert, aber die Formale definition ist richtig. So und um tmo's Beispiel zu folgen, nenne uns mal ein

$\begin{eqnarray*} x \in M \times P \Leftrightarrow x \in \{[a,b] : a \in M \wedge b \in P\} \end{eqnarray*}$

29.10.2009, 18:09

Mia9

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= [1,0]

29.10.2009, 18:25

Mazze

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Ja , das ist ein richtiges Element. Kannst Du mir noch mehr nennen? Was stellst Du fest?

29.10.2009, 18:27

Mia9

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ein zweites Element wäre [1,1]
also ist das die beiden Lösungen für MxP.
Also ist es egal ob es ein Intervall ist oder ein Punkt.

29.10.2009, 18:30

Mazze

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Es gibt weit mehr als zwei Elemente. Zum Beispiel ist

$\begin{eqnarray*} \left[1,\frac{1}{2}\right] \in M \times P \end{eqnarray*}$

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