Integral-Unendlichkeiten

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29.10.2009, 17:00	Poltergeist	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral-Unendlichkeiten Hab da mal eine Frage, vielleicht ist sie ja trivial, aber leider finde ich dazu keine Erklärung. Und zwar hab ich folgendes Integral "berechnet": $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{x} \log \vert x \vert ~ dx = \left[ \dfrac{1}{2} \log \left( \vert x \vert \right) ^{2} \right]_{-\infty}^{\infty} \end{eqnarray}$ Meiner Meinung nach müsste es gleich 0 sein, Begründung: $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{x} \log \vert x \vert ~ dx = \lim_{s \to \infty} \int_{-s}^{s} \dfrac{1}{x} \log \vert x \vert ~ dx = \lim_{s \to \infty} \int_{-s}^{s} \left[ \dfrac{1}{2} \log \left( \vert x \vert \right) ^{2} \right]_{-s}^{s} = 0 \end{eqnarray}$ Aber was mich nun verwirrt ist, dass $\begin{eqnarray} \left[ \dfrac{1}{2} \log \left( \vert x \vert \right) ^{2} \right]_{-\infty}^{\infty} = \infty - \infty \end{eqnarray}$ nicht definiert ist. Was ist denn nun richtig?
29.10.2009, 17:03	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Kommt ganz drauf an, ob die beiden Intervallgrenzen gleichschnell gegen unendlich gehen.
29.10.2009, 17:09	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz zu schweigen von der kritischen Stelle $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ innerhalb des Integrationsbereiches, die verhindert, dass selbst das endliche Integral $\begin{eqnarray} \int_{-s}^s \end{eqnarray}$ existiert. Allenfalls noch der Cauchysche Hauptwert ist da denkbar.
29.10.2009, 17:31	Poltergeist	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, schauen wir uns halt ein anderes Beispiel an (ohne kritische Stellen): $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} x ~ dx = \left[ \dfrac{1}{2} x^{2} \right]_{-\infty}^{\infty} \end{eqnarray}$ . Ist das Integral nun nicht defniniert, oder darf ich $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} x ~ dx = \lim_{s \to \infty} \int_{-s}^{s} x ~ dx = \lim_{s \to \infty} \left[ \dfrac{1}{2} x^{2} \right]_{-s}^{s} = 0 \end{eqnarray}$ schreiben? Ich versteht es wohl noch nicht wirklich, aber in diesem Fall gehen doch beide Intervallgrenzen gleichschnell gegen unendlich, dann sollte das doch so möglich sein, oder nicht?
29.10.2009, 18:19	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit $\begin{eqnarray} \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ f(x) ~ \dd x \end{eqnarray}$ als uneigentliches Integral existiert, müssen die beiden Teilintegrale $\begin{eqnarray} \int\limits_{-\infty}^{x_0} ~ f(x) ~ \dd x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int\limits_{x_0}^{\infty} ~ f(x) ~ \dd x \end{eqnarray}$ (mit einem beliebig gewählten "Teilungspunkt" $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ , naheliegenderweise hier $\begin{eqnarray} x_0=0 \end{eqnarray}$ ) als uneigentliche Integrale existieren. Das tun sie hier nicht, also existiert das Gesamtintegral nicht. Von einer "synchronen" Grenzwertbildung kann beim normalen uneigentlichen Integral nicht die Rede sein, derart aufgeweichte Forderungen gibt es lediglich beim schon erwähnten Cauchyschen Hauptwert.
29.10.2009, 19:25	Poltergeist	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, aber dann dürfte (selbst wenn ich das Cauchy-Hauptwert-Integral betrachte) das Integral $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{x} \log \vert x \vert ~ dx \end{eqnarray}$ nicht existieren, oder? In der Literatur finde ich aber relativ häufig, dass dieses Integral verschwindet, allerdings wird keine Begründung angegeben.
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29.10.2009, 19:56	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Man muss nicht alles glauben, was in Büchern steht. Dieses Integral existiert (und ist dann gleich Null) nur in diesem Sinne des Cauchyschen Hauptwertes, wobei dieser sowohl bei $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ als auch bei $\begin{eqnarray} x\to\pm \infty \end{eqnarray}$ zur Anwendung kommen muss.
29.10.2009, 21:33	Poltergeist	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, ich glaub jetzt hab ich das verstanden. Vielen Dank für die Hilfe D.h. wenn ich das Integral oben also mit Hilfe des Cauchyschen Hauptwertes berechnen will, erhalte ich: $\begin{eqnarray} P \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{x} \log \vert x \vert ~ dx = \lim_{\epsilon \to + 0} \left( \int_{-1/\varepsilon}^{-\varepsilon} \dfrac{1}{x} \log( \vert x \vert ) ~ dx + \int_{\varepsilon}^{1/\varepsilon} \dfrac{1}{x} \log( \vert x \vert ) ~ dx \right) = \dfrac{1}{2} \lim_{\varepsilon \to + 0} \left( \log^{2}(\varepsilon) - \log^{2}(1/\varepsilon) + \log^{2}(1/\varepsilon) - \log^{2}(\varepsilon) \right) = 0 \end{eqnarray}$ Und nun verschwindet das Integral auch. Ist doch richtig so, oder? Die Literatur die ich verwendet habe, war von Physikern geschrieben, ich denke mal, dass die Autoren das Anwenden des Cauchyschen Hauptwertes nicht extra durch irgendein Symbol andeuten wollten und es einfach "als selbstverändlich" ansahen, was aber doch verwirrend sein kann.
29.10.2009, 21:37	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ist richtig, aber sogar schon des guten zuviel: Es gilt überdies $\begin{eqnarray} \lim_{\substack{\epsilon \to + 0 \\ L\to\infty}} \left( \int_{-L}^{-\varepsilon} \dfrac{1}{x} \log( \vert x \vert ) ~ dx + \int_{\varepsilon}^{L} \dfrac{1}{x} \log( \vert x \vert ) ~ dx \right) = \cdots = 0 \end{eqnarray}$ .

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