äquivalenz Surjetivität, Injektiviät, Bijektivität

Neue Frage »

xtemper Auf diesen Beitrag antworten »
äquivalenz Surjetivität, Injektiviät, Bijektivität
Hallo ich habe ene Abbildung f:{1,...,n}->{1,...,n} mit n€N

und nun soll ich die Aussagen zeigen(formal):

-f ist äquivalent

-f ist surjektiv

-f ist bijektiv

mir wurde gesagt das funktioniert indem man annimmt das f injektiv ist und dann zeigt das es surjektiv ist und das selbe andersrum.

Bijektivität ergibt sich ja aus beiden Beweisen von selbst.

Mein Problem ist ich weiß nicht wie man formal zeigt, dass seine Abbildung surjektiv oder injektiv ist. Ich weiß war was die beiden begriffe bedeuten aber nicht wie man diese zeigt.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Man zeigt, dass eine Abbildung surjektiv/injektiv ist, indem man zeigt, dass für die gegebene Abbildung die jeweilige Definition zutreffend ist.

Wie lauten die Definitionen denn?
xtemper Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Abbildung f: X ->Y heißt:

Injektiv wenn für alle x,x` €X gilt f(x)=f(x`)->x=x`

Surjektiv, wenn für alle y € Y gilt:

Bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ok gut.

Sei die Menge der ersten n natürlichen Zahlen.
D.h. wir nehmen zunächst an, dass injektiv ist.

D.h. aus folgt stets .

Jetzt musst du zeigen, dass f dann auch surjektiv ist. D.h. dass zu jedem ein existiert, sodass gilt.

Das ist eigentlich relativ klar. Da wir insgesamt n Zahlen abbilden und jede Zahl ein anderes Bild hat, gibt es auch n verschiedene Bilder. Genauso viele stehen uns auch in zur Verfügung.

Das ganze kann man formal mit Hilfe des Schubfachprinzips zeigen.
xtemper Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo


D.h. aus folgt stets .

Jetzt musst du zeigen, dass f dann auch surjektiv ist. D.h. dass zu jedem ein existiert, sodass gilt.


Wo genau liegt bei diesen beiden Aussagen der Unterschied? Injektivität heißt ja das jedes Element der Zielmege höchstens einmal getroffen wird und Surjektivität heißt ja, dass jedes Element der Zielmenge mindestens einmal getroffen wird. Ist das nicht bei unseren Mengen komplett das selbe?

Zitat:
Original von tmoDas ganze kann man formal mit Hilfe des Schubfachprinzips zeigen.


Habe davon noch nichts gehört... Wink
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von xtemper
Ist das nicht bei unseren Mengen komplett das selbe?

Ja und genau das sollst du ja zeigen. Im Allgemeinen ist das aber ganz und gar nicht das gleiche.

Man betrachte z.b.

Zitat:
Original von xtemper
Zitat:
Original von tmoDas ganze kann man formal mit Hilfe des Schubfachprinzips zeigen.


Habe davon noch nichts gehört... Wink

Hast du zufällig Internet? Wenn ja, kannste ja mal auf Google oder Wikipedia suchen. Augenzwinkern
 
 
xtemper Auf diesen Beitrag antworten »

also ich gehe davon aus das f: X->Y injektiv ist, das würde dann so aussehen:



und laut schubfachprinzip geht man ja davon aus das bei zwei unendlichen Mengen in einer Menge mehr landet als in der anderen( sagte wiki wenn ichs richtig verstanden habe)

dies würde dann so aussehen

(was dann surjektiv wäre)

aber das wäre ja ein bisschen zu leicht oder?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von xtemper
also ich gehe davon aus das f: X->Y injektiv ist, das würde dann so aussehen:




Du hast jetzt Injektivität mit Surjektivität verwechselt.


Und was hat das Schubfachprinzip mit unendlichen Mengen zu tun?
Es ist doch einleuchtend. Wenn du n Schubladen hast und dann mehr als n Sachen in die Schubladen steckst, dann gibt es mind. eine Schublade in der mind. 2 Sachen drin sind.
xtemper Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo

Du hast jetzt Injektivität mit Surjektivität verwechselt.

okay, ja du hast recht, das musste jetzt injektiv sein





Zitat:
Original von tmo

Und was hat das Schubfachprinzip mit unendlichen Mengen zu tun?
Es ist doch einleuchtend. Wenn du n Schubladen hast und dann mehr als n Sachen in die Schubladen steckst, dann gibt es mind. eine Schublade in der mind. 2 Sachen drin sind.


das habe ich im prinzip gemeint.

Jetzt wäre meine Idee:

und das müsste jetzt surjektiv sein

wenn das net hinhaut weiß ich leider nicht was in unserem fall die schubladen und die n sachen sein sollen, ich habe mir das so vorgestellt die n sachen sind die menge der x und die schubladen sind die menge der y.
xtemper Auf diesen Beitrag antworten »

hat noch wer ne idee oder anregung, oder stimmt das schon so?


habe echt kein plan habe sowas noch nie gemacht und nen beispiel dazu hatten wir auch noch nie=(
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »