Augensumme 6-seitiger Würfel

29.10.2009, 17:40

Romaxx

Augensumme 6-seitiger Würfel

Hallo Community,

Aufgabe:

Bei einem Experiment mit einem sechsseitigen Würfel würfelt man mehrfach und addiert die geworfenen Augenzahlen, bis erstmals eine Augensumme größer als 18 erreicht ist. Welche Augensumme tritt bei der Berechnung des Würfelns mit der größten Wahrscheinlichkeit auf?

Hinweis: Zur Lösung der Aufgabe ist keine Berechnung von Wahrscheinlichkeiten erforderlich.

Ich bin folgendermaßen vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} \begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{mögliche Ausgangssumme} & \text{19} & \text{20} & \text{21} & \text{22} & \text{23} & \text{24} \\ \hline\hline \text{Möglichkeiten von der Augensumme 18 direkt auf einen möglichen Ausgang zu würfeln} & \text{1} & \text{1} & \text{1} & \text{1} & \text{1} & \text{1} \\ \hline \text{... 17 ...} & \text{1} & \text{1} & \text{1} & \text{1} & \text{1} & \text{0} \\ \hline \text{... 16 ...} & \text{1} & \text{1} & \text{1} & \text{1} & \text{0} & \text{0} \\ \hline \text{... 15 ...} & \text{1} & \text{1} & \text{1} & \text{0} & \text{0} & \text{0} \\ \hline \text{... 14 ...} & \text{1} & \text{1} & \text{0} & \text{0} & \text{0} & \text{0} \\ \hline \text{... 13 ...} & \text{1} & \text{0} & \text{0} & \text{0} & \text{0} & \text{0} \\ \end{array} \end{eqnarray*}$

Da in der Spalte 19 überall eine 1 steht, ist dieser Ausgang am wahrscheinlichsten.

Was meint ihr dazu.

Gruß

29.10.2009, 18:55

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Ja, ist völlig richtig. Beim ungezinkten Würfel ergibt sich damit eine klar absteigende Wahrscheinlichkeitsfolge für die Augenzahlen 19,20,...,24.

Beim gezinkten Würfel würde diese Argumentation allerdings nicht mehr klappen - dort kann ja auch das Ergebnis anders ausfallen. Augenzwinkern

29.10.2009, 21:46

Romaxx

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Danke

29.10.2009, 23:27

kiste

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Hey,

da hört wohl einer diesselbe WT-Vorlesung wie ich smile

Man kann die absoluten Häufigkeiten übrigens auch noch direkt berechnen.
Sei $\begin{eqnarray*} s_i \end{eqnarray*}$ die Anzahl die Zahl i als (geordnete) Summe von Zahlen 1 bis 6 darzustellen, dann ist $\begin{eqnarray*} s_1 = 1, s_2=2,s_3=4, s_4=8,s_5=16,s_6=32 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_{i+6} = \sum_{k=0}^5 s_{i+k} \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} m_i \end{eqnarray*}$ die Möglichkeiten eine i=19,20,...,24 zu bekommen.

Dann ist $\begin{eqnarray*} m_i = \sum_{k=13+i-19}^{18} s_i \end{eqnarray*}$ . Man sieht direkt dass $\begin{eqnarray*} m_{19} \end{eqnarray*}$ maximal ist.

29.10.2009, 23:39

Romaxx

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Scheint so Augenzwinkern

Dein Lösungsweg ist auch interessant.

Grüße

30.10.2009, 08:02

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Genau genommen ist es kein anderer Lösungsweg, sondern alles nochmal genau quantitativ untersetzt - konkret das Ausrechnen der Werte $\begin{eqnarray*} s_{13},\ldots,s_{18} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

EDIT: @kiste

Bei genauerem Nachdenken muss ich dann doch noch etwas zu deinen Betrachtungen anmerken:

Es sei $\begin{eqnarray*} p_k \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ bei fehlender Beschränkung (durch 18 etc.) irgendwann mal angenommen wird. Dann ist deine Anzahl $\begin{eqnarray*} s_k \end{eqnarray*}$ der Darstellungsmöglichkeiten der Augenzahlsumme $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ leider nicht direkt in $\begin{eqnarray*} p_k \end{eqnarray*}$ umrechenbar, etwa als Laplace-Wahrscheinlichkeit o.ä., da in den $\begin{eqnarray*} s_k \end{eqnarray*}$ Wege unterschiedlicher Länge und damit unterschiedlicher Wahrscheinlichkeit versammelt sind.

Tatsächlich gibt es für die $\begin{eqnarray*} p_k \end{eqnarray*}$ eine in etwa vergleichbare Rekursion, aber mit anderen Startwerten: Es ist

$\begin{eqnarray*} p_k = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\; k\leq 0 \\[0.5em] \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \sum\limits_{i=1}^6 p_{k-i} & \;\mbox{für}\; 1\leq k\leq 6 \\[0.5em] \frac{1}{6} \sum\limits_{i=1}^6 p_{k-i} & \;\mbox{für}\; k\geq 7 \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} q_k \end{eqnarray*}$ , dass die erste Augenzahl über 18 gleich $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist, berechnet sich dann gemäß

$\begin{eqnarray*} q_k = \frac{1}{6} \sum_{i=k-6}^{18} p_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=19,\ldots,24 \end{eqnarray*}$ .

Wer Spaß dran hat, kann sogar eine explizite Formel für die $\begin{eqnarray*} p_k \end{eqnarray*}$ aufstellen, schließlich ist

$\begin{eqnarray*} p_k = \frac{1}{6} \sum\limits_{i=1}^6 p_{k-i} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\geq 7 \end{eqnarray*}$

von der Struktur her eine Differenzengleichung mit konstanten Koeffizienten, für die es wohlbekannte Lösungsverfahren gibt. Letzten Endes wird sich da $\begin{eqnarray*} p_k\to \frac{2}{7} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ ergeben. Augenzwinkern

30.10.2009, 15:10

kiste

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Ich habe ja auch nicht behauptet dass es ein anderer Lösungsweg ist sondern wollte nur noch anmerken dass es gar nicht so schwer ist auf die Wahrscheinlichkeit zu kommen.

Deine Verallgemeinerung ist natürlich um einiges schöner als meine etwas kloppige Anzahlsformel smile

30.10.2009, 18:45

Romaxx

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Zitat:

Das meinte ich damit Augenzwinkern

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