Nette Ungleichung

29.10.2009, 17:53

Physinetz

Nette Ungleichung

Grüßt euch mitainandr, folgende Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-5}{x^2-9} \geq - \frac{4-3x}{3x+4} \end{eqnarray*}$

Hmm wie gehe ich am besten vor, kritisch ist aufjedenfall der Bruch mit x im Nenner, heißt ich brauche eine Fallunterscheidung:

Erster Schritt wird sein alles auf die linke Seite bringen:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-5}{x^2-9} + \frac{4-3x}{3x+4} \geq 0 \end{eqnarray*}$

1.Fall:

$\begin{eqnarray*} x²-9>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3x+4>0 \end{eqnarray*}$

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-5}{x^2-9} + \frac{4-3x}{3x+4} \geq 0 \end{eqnarray*}$

2.Fall:

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} x²-9>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3x+4<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-5}{x^2-9} + \frac{4-3x}{3x+4} \leq 0 \end{eqnarray*}$

3.Fall:

$\begin{eqnarray*} x²-9<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3x+4>0 \end{eqnarray*}$

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-5}{x^2-9} + \frac{4-3x}{3x+4} \leq 0 \end{eqnarray*}$

4.Fall:

$\begin{eqnarray*} x²-9<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3x+4<0 \end{eqnarray*}$

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-5}{x^2-9} + \frac{4-3x}{3x+4} \geq 0 \end{eqnarray*}$

Hatte mir bei der Fallunterscheidung beim 4. Fall z.B. überlegt: Ich multipliziere mit jeweils 2 mal einem Wert der kleiner als Null ist --> dreht sich das Vorzeichen 2 mal um, dann ist es wieder an der selben Position....Richtige Überlegung?

Nun muss ich bei der Fallunterscheidung eben noch immer nach x auflösen damit ich das genaue Ergebnis bekomme.

Nachdem ich die Fallunterscheidung gemacht habe, kann ich ja wie gewohnt die quadratischen Gleichungen auflösen, richtig?

Ist sicherlich ein bisschen stressig zu lesen, trotzdem danke !

29.10.2009, 17:57

klarsoweit

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RE: Nette Ungleichung

Zitat:

Original von Physinetz
Erster Schritt wird sein alles auf die linke Seite bringen:

Kann man machen, muß man aber nicht.
Vor allem aber dreht sich das Ungleichheitszeichen nicht um, wenn man Terme addiert. Lehrer

29.10.2009, 19:14

Physinetz

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nein nicht wenn man sie addiert, aber wenn man sie doch auf den gleichen Hauptnenner bringt, dann multipliziert man ja jeweils mit dem Nenner...

Stimmt die Fallunterscheidung also nicht?

@klarsoweit: Warum bist du so klug?

29.10.2009, 21:16

krk1234

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das ist eine normale erweiterung des bruchs.
du musst da die ungleichheitszeichen nicht um drehen.
und ich glaube du musst auch keine Fallunterscheidung durchführen.

29.10.2009, 21:27

krk1234

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nach der erweiterung und zusammenfassung sieht das dann so aus:
$\begin{eqnarray*} \frac{8x²+12x-56}{3x³+4x²-27x-36} \geq 0 \end{eqnarray*}$

29.10.2009, 21:44

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Es ist keine gute Idee, den Nenner auszumultiplizieren - faktoriert ist er wesentlich aussagekräftiger. Ganz im Gegenteil solltest du nun auch noch den Zähler faktorisieren, anschließend kann man die Lösungsintervalle direkt ablesen.

30.10.2009, 16:08

Physinetz

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Zitat:

Original von krk1234
das ist eine normale erweiterung des bruchs.
du musst da die ungleichheitszeichen nicht um drehen.
und ich glaube du musst auch keine Fallunterscheidung durchführen.

Stimmt doch gar nicht....a) beim erweitern eines Bruches kann ja x auch negativ sein --> vorzeichen dreht sich um

b) fallunterscheidung ist bei der aufgabe nötig

30.10.2009, 18:09

klarsoweit

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Zitat:

Original von Physinetz
Stimmt doch gar nicht....a) beim erweitern eines Bruches kann ja x auch negativ sein --> vorzeichen dreht sich um

Und was hat das mit der Richtung der Ungleichung zu tun? (?

Zitat:

Original von Physinetz
b) fallunterscheidung ist bei der aufgabe nötig

Ja, du mußt eben unterscheiden, wann die jeweiligen Nenner positiv oder negativ sind. Dann kannst du die Ungleichung mit den Nennern multiplizieren.

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