Beweis: summe ungerader zahlen bis 2n-1 gleich n²

29.10.2009, 18:29	Buddie	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: summe ungerader zahlen bis 2n-1 gleich n² hey hab schon wieder ein problem. und zwar muss ich zeigen dass: 1+3+5+..+(2n-3)+(2n-1)=n² induktion ist klar, jedoch wie soll das denn durch einen direkten beweis gehen? hab herausgefunden dass das mithilfe der formel für arithmetische folgen geht, jedoch haben wir diese noch nicht besprochen, deshalb geh ich davon aus dass wir die auch nicht benutzen dürfen
29.10.2009, 18:41	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte die klassische Überlegung von Gauß in Betracht ziehen: Wir summieren das ganze 2 mal: Also $\begin{eqnarray} 2 \sum_{k=1}^n (2k-1) = \sum_{k=1}^n (2k-1) +\sum_{k=1}^n (2k-1) =\sum_{k=1}^n (2k-1) +\sum_{k=1}^n (2n-(2k-1)) = \sum_{k=1}^n ((2k-1)+(2n-(2k-1))) =\sum_{k=1}^n 2n =2n^2 \end{eqnarray}$

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