größter gemeinsamer Teiler

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29.10.2009, 19:03	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
größter gemeinsamer Teiler Hallo Will folgendes beweisen; Es seien $\begin{eqnarray} a_1,...,a_r \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^r a_i^2>0, r\geq 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d:=ggT(a_1,...,a_r) \end{eqnarray}$ . Beweise: $\begin{eqnarray} ggT(a_1,...,a_{r-1})=d \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} a_r=0 \end{eqnarray}$ Weiß nicht recht wie ich das angehen soll. Wahrscheinlich irgendwie über die Definition des ggT oder? Wäre für einen Tipp sehr dankbar. Korrigiert: Es sollte wohl über $\begin{eqnarray} a_i^2 \end{eqnarray}$ summiert werden und nicht über $\begin{eqnarray} a_r^2 \end{eqnarray}$ . Außerdem $\begin{eqnarray} a-1\to a_{1} \end{eqnarray}$ . Gruß, Reksilat.
30.10.2009, 02:07	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi imag, Die Aufgabe ist ziemlich konfus, denn $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^r a_i^2>0 \end{eqnarray}$ heißt ja nichts anderes, als dass mindestens eines der $\begin{eqnarray} a_i\neq 0 \end{eqnarray}$ ist. Wenn aber alle $\begin{eqnarray} a_i=0 \end{eqnarray}$ wären, würde die Aussage ja sowieso gelten. Dass man beim Bilden des ggT die Nullen weglassen kann ist auch keine besonders interessante Behauptung, da ja sowieso jede Zahl die Null teilt. Ist das wirklich die korrekte Aufgabenstellung? Gruß, Reksilat.
30.10.2009, 12:55	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Reksilat, Danke für die Antwort und die Korrektur meines Tippfehlers. Sont ist die Aufgabe aber genauso wie ich sie gestelt bekommen habe und komme da auch nicht richtig weiter. Also ich soll auch noch unter gleichen Vorrausetzungen beweisen, dass der $\begin{eqnarray} ggT(a_1,...,a_{r-1})=d, \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} a_{r-1}=a_r \end{eqnarray}$ Könnte mir vorstellen, dass dieser Bweis so ähnlich geht. Aber wie weiß ich ehrlich gesagt nicht. Mir erscheint das zwar schon sinnvoll aber weiß nicht recht wie ich das jetzt richtig beweisen soll. Lg imag
30.10.2009, 14:00	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, vielleicht geht es auch eher ums korrekte Beweisen und nicht so sehr um mathematische Erkenntnisse. Dann wollen wir den Beweis aber auch sauber führen. Sei also $\begin{eqnarray} d:={\rm ggT}(a_1,...,a_{r-1},a_{r-1}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f:={\rm ggT}(a_1,...,a_{r-1}) \end{eqnarray}$ Überlege Dir, wie der ggT genau definiert ist. Wenn Du $\begin{eqnarray} f\|d \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d\|f \end{eqnarray}$ zeigen kannst, bist Du fertig, denn zwei natürliche Zahlen die sich gegenseitig teilen sind gleich. (Auf diesem Niveau sollte man das aber vielleicht auch noch zeigen.) Gruß, Reksilat.
30.10.2009, 16:33	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre ja jetzt der Ansatz für den 2. Beweis oder? Also, wenn ich die Definition des ggT anwende habe ich dann folgendes: $\begin{eqnarray} d:=ggT(a_1,...,a_{r-1},a_{r-1}) \end{eqnarray}$ daraus folgt dann $\begin{eqnarray} d\|a_{i,i=1,...,r-1,r-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d=\max \{d^{'} \in \mathbb N, d^{'}\|a_{i,i=1,...,r-1,r-1} \} \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} f:=ggT(a_1,...,a_{r-1}) \end{eqnarray}$ folgt dann: $\begin{eqnarray} f\|a_{i,i=1,...,r-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f= \max \{ f^{'} \in \mathbb N, f^{'}\|a_{i,i=1,...,r-1} \} \end{eqnarray}$ Die Mengenklammern hinter dem "max" sind irgendwie verschwunden. Jetzt weiß ich aber nicht genau wie ich damit zeigen kann dass f\|d und d\|f. Edit: LaTeX korrigiert. Geschweifte Klammern mit \{ und \}. Gruß, Reksilat.
30.10.2009, 16:50	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Du den ggT über das Maximum einer Menge definiert hast, dann zeige doch einfach $\begin{eqnarray} f\leq d \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d\leq f \end{eqnarray}$ .
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30.10.2009, 17:12	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich weiß: $\begin{eqnarray} d\|a_{i,i=1,...,r-1,r-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_{i,i=1,...,r-1,r-1}\neq 0 \end{eqnarray}$ daraus folgt dann, dass $\begin{eqnarray} d \leq a_{i,i=1,...,r-1,r-1} \end{eqnarray}$ Außerdem $\begin{eqnarray} f\|a_{i,i=1,...,r-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_{i,i=1,...,r-1}\neq 0 \end{eqnarray}$ daraus folgtdann, dass $\begin{eqnarray} f \leq a_{i,i=1,...,r-1} \end{eqnarray}$ oder? Jetzt bin ich mir nur nicht sicher wie ich daraus folgern kann, dass $\begin{eqnarray} f\leq d \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d\leq f \end{eqnarray}$ .
30.10.2009, 17:52	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist das Maximum einer gewissen Menge. Wenn Du zeigst, dass $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ in dieser Menge liegt, ist $\begin{eqnarray} f\geq d \end{eqnarray}$ .
31.10.2009, 12:52	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f= \max \{ f^{'} \in \mathbb N, f^{'}\|a_{i,i=1,...,r-1} \} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d\|a_{i,i=1,...,r-1,r-1} \end{eqnarray}$ Kann ich daraus folgern, dass d in f liegt und somit $\begin{eqnarray} f \geq d \end{eqnarray}$ ist?Tue mir da irgendwei ein bisschen schwer.
01.11.2009, 12:12	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau doch einfach nach, ob $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ die Bedingung für Elemente in dieser Menge erfüllt. Die Elemente der Menge teilen $\begin{eqnarray} a_1,...,a_{r-1} \end{eqnarray}$ . Tut dies auch $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ ? Gruß, Reksilat.
01.11.2009, 16:49	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh ja ich glaube jetzt habe ich es: $\begin{eqnarray} f= \max \{ f^{'} \in \mathbb N, f^{'}\|a_{i,i=1,...,r-1} \} \end{eqnarray}$ und da $\begin{eqnarray} d\|a_{i,i=1,...,r-1,r-1} \end{eqnarray}$ teilt d auch $\begin{eqnarray} a_{i,i=1,...,r-1} \end{eqnarray}$ also liegt d in f und daraus folgt $\begin{eqnarray} f \geq d \end{eqnarray}$ Außerdem: $\begin{eqnarray} d:=ggT(a_1,...,a_{r-1},a_{r-1}) \end{eqnarray}$ und da $\begin{eqnarray} f\|a_{i,i=1,...,r-1} \end{eqnarray}$ teilt f auch $\begin{eqnarray} a_{i,i=1,...,r-1,r-1} \end{eqnarray}$ also liegt f in d und daraus folgt $\begin{eqnarray} d \geq f \end{eqnarray}$ => f=d und das wäre ja genau meine Behauptung die ich nun bewiesen hätte oder? Stimmt das jetzt so?
01.11.2009, 16:54	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, das sollte hinhauen. Mehr kann ich aus der Aufgabe auch nicht herauslesen. Gruß, Reksilat.
01.11.2009, 17:03	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Hilfe. Die Aufgabe nach der ich zuerst gefragt hatte müsste ja dann so ähnlich gehen. Gruß imag

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