Singulärwerte zweier Matrizen

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glocke Auf diesen Beitrag antworten »
Singulärwerte zweier Matrizen
Hallo Mathegemeinde,

folgendes Problem bereitet mir Kopfzerbrechen:

Sei A aus C(m×n) und B aus C(n×m) die Matrix, die durch Rotation der Matrix A
um 90 Grad im Uhrzeigersinn entsteht. Haben A und B die selben Singulärwerte?

Ich habe mir die SVD's diverser Zufallsmatrizen in MatLab anzeigen lassen
und ich vermute stark, dass A und B tatsächlich die selben Singulärwerte besitzen,
zumindest war dies immer der Fall. Leider habe ich keine Idee für einen
sinnvollen Ansatz und bitte demütigst um support Gott

Augenzwinkern
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal bitte ich um klarstellung der Aufgabe. Wird eine Rotationsmatrix U auf die Matrix A angewendet? Weil Matrix rotieren ergibt nicht wirklich Sinn.

edit:

Wenn es dass ist was ich denke dann passiert Folgendes. Die Singulärwerte der Matrix A sind die Eigenwerte . Naja, sei U eine Unitäre Matrix dann ist



Sprich die Matrix UA hat die selben Singulärwerte wie die Matrix A. U ist unitär, und Rotationen um den Ursprung können durch eine Unitäre Matrix beschrieben werden.

edit2 :

Ich meine hier nicht Unitär sondern Orthogonal.
glocke Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Mazze,

es ist wirklich so, wie ich es geschrieben habe: die Matrix wird um 90 Grad
im Uhrzeigersinn gedreht, es wird keine Rotationsmatrix benutzt.
Das ist dann natürlich keine mathematische Operation...
dennoch soll ein Beweis geführt werden.
Die Aufgabe ist übrigens aus dem Buch:
"Numerical Linear Algebra" von Trefethen & Bau,
da hat sie die Nummer 4.2. Online zu finden unter:
http://www.comlab.ox.ac.uk/nick.trefethen/text.html
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann Postscripts zu Hause nicht öffnen und hab jetzt auch keine Lust die entsprechenden Programme zu installieren. Daher wäre wohl die Aufgabe im Originalwortlaut sehr nett.
glocke Auf diesen Beitrag antworten »

Hier der Orginalwortlaut:

Suppose A is an m x n matrix and B is the n x m matrix obtained by rotating
A ninety degrees clockwise on paper (not exactly a standard mathematical
transformation !). Do A and B have the same singular values? Prove it or give
a counterexample.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Solange nicht klar ist was mit Matrix rotieren gemeint ist, kann ich Dir nicht helfen.
 
 
glocke Auf diesen Beitrag antworten »

Mit "Matrix rotieren" ist in diesem Fall gemeint, dass man die Matrix um 90 Grad im Uhrzeigersinn dreht.
Oder anders: Matrix auf ein Blatt Papier notieren, dann das Blatt um 90 Grad drehen
Oder noch anders:


EDIT:

Problem gelöst.
Man überlegt sich, dass
1)
gilt und dass
2) und
die gleichen Singulärwerte haben.
Dann folgt mit Identität 1) die Gleicheit der Singulärwerte von A und B.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist völlig schleierhaft was Du da tust. Du könntest ja einfach mal eine Beispielmatrix angeben und diese "rotieren".
glocke Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn



dann ist



aber wie gesagt, das Problem ist von gestern.
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