Indikatorfunktion, Limes superior/inferior

29.10.2009, 21:16	Trulla	Auf diesen Beitrag antworten »
Indikatorfunktion, Limes superior/inferior Hallo ihr Lieben, hier ist eine Aufgabe, bei der ich einfach keinen Anfang finde. Die Definitionen sind mir geläufig. Aber ich weiß einfach, wie ich den Beweis aufbauen soll. a) $\begin{eqnarray} 1_{\lim_{k \to \infty } \sup A_k}= \lim_{k \to \infty } \sup 1_{A_k} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} 1_{\lim_{k \to \infty } \inf A_k}= \lim_{k \to \infty } \inf 1_{A_k} \end{eqnarray}$ Danke für eure Hilfe :-)
29.10.2009, 22:25	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwierig, dazu etwas zu sagen, ohne die Lösung zu verraten. Fang mit der Definition von lim sup / lim inf von Mengen an. Durch direkte Folgerungen kann man dann zur rechten Seite kommen: x $\begin{eqnarray} \in \liminf\limits_{k \rightarrow \infty}{A_k} \Rightarrow x \in \bigcup_{n = 1}^{\infty} {\bigcap_{m \geq n}A_m} \end{eqnarray}$ Dann ist die linke Seite = 1. Es folgt aber auch $\begin{eqnarray} \Rightarrow \exists \; n_0 \in \mathbb{N} \; \forall \; m \geq n_0: x \in A_m \end{eqnarray}$ Was gilt dann für die rechte Seite? Was gilt zunächst für die charakteristische Funktion?

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