Ein metrischer Raum heißt zusammenhängend...

29.10.2009, 23:35

Hoffie89

Ein metrischer Raum heißt zusammenhängend...

Hallo,

ich habe ein riesen Problem, und zwar muss ich bis morgen 10 Uhr meinen Ana II Zettel abgegeben haben, allerdings habe ich mega das Brett vor dem Kopf und komme auf keine Lösung, wäre also supi lieb, wenn ihr mir helft die beiden Aufgaben zu lösen:

1. Aufg: Ein metrischer Raum (M,d) heißt zusammenhängend, falls M und die leere Menge die einzigen Teilmengen von M sind, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.
Beweisen Sie, dass R (mit der üblichen Metrik) zusammenhängend ist.

2.Aufg: Seien (M1,d1) und (M2,d2) zwei metrische Räume. Auf dem Produkt M1xM2 werden zwei mögliche Abb. definiert
(a) d((x1,y1),(x2,y2)) = d1(x1,x2) + d2(y1,y2) und
(b) d'((x1,y1),(x2,y2)) = max {d1(x1,x2),d2(y1,y2)}, für beliebige Elemente (x1,y1), (x2,y2) Element M1xM2.
Ist d eine Metrik auf M1xM2? Ist d' eine Metrik?

Ne Lösung mit ausführlichen Beschreibungen wäre supi.
Habe leider die ersten zwei Wochen in der Uni gefehlt und das bis jetzt noch nicht aufholen können.

Mit der Hoffnung um ganz viel Hilfe Augenzwinkern

und schon mal einem riesen Dank für all eure Bemühungen!!!
Hoffie

30.10.2009, 06:50

Mazze

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Zitat:

Ne Lösung mit ausführlichen Beschreibungen wäre supi.

Das verstößt gegen unserer Boardprinzip. Hier gibts Hilfe zur selbst Hilfe. Bevor die Aufgaben angegangen werden mache dir folgende Begriffe klar :

Wann heisst eine Menge offen / abgeschlossen ?
Was ist eine Metrik ?
Wann heisst eine Menge offen / abgeschlossen bezüglich einer Metrik ?

Diese Dinge brauchst Du für beide Aufgaben.

30.10.2009, 07:36

Hoffie89

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oh ich wollte natürlich nicht gegen die Regeln verstoßen.

Also mir ist klar, dass ich bei Aufg. 2 symmetrie, die Dreiecksungleichung und zeigen muss, dass es gleich 0 ist.

X heißt offen, wenn die Umgebung jeder Punkte einer Teilmenge U eines metrischen Raumes ist, d.h. wenn zu jedem x Element U ein Epsiolon > 0 existiert, so dass B(x,Epsilon) ist Teilmenge von U

Eine Teilmenge A eines metrischen Raumes X heißt abgeschlossen wenn ihr Komplement X\A offen ist.

Also.. bei Aufg. 2 weiß ich zumindest was ich machen soll, aber nicht wie und bei Aufg. 1 habe ich leider überhaupt keine Ahnung

30.10.2009, 07:55

Mazze

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Zitat:

X heißt offen, wenn die Umgebung jeder Punkte einer Teilmenge U eines metrischen Raumes ist, d.h. wenn zu jedem x Element U ein Epsiolon > 0 existiert, so dass B(x,Epsilon) ist Teilmenge von U

Du meinst U, nicht X (erste Buchstabe)

Was Aufgabe 1 angeht. Sei $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ die übliche Topologie auf R bezüglich der Standardmetrik. Zu zeigen : Ist

$\begin{eqnarray*} A \in \tau \end{eqnarray*}$ sowohl offen als auch abgeschlossen dann gilt $\begin{eqnarray*} A = \mathbb{R} \lor A = \emptyset \end{eqnarray*}$

Wir wissen bereits das die leere Menge und der Raum selber abgeschlossen und offen sind. (Folgt direkt aus der Definition von "offen"). Daher kann man das Ganze auch dadurch zeigen das für $\begin{eqnarray*} A \neq \emptyset \wedge A \neq \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ die Aussage A ist offen und abgeschlossen immer falsch ist.

Wähle dazu jetzt $\begin{eqnarray*} A \in \tau \end{eqnarray*}$ offen und abgeschlossen aber nicht gleich R oder der leeren Menge. Was heisst das? (Das ergibt unmittelbar einen Widerspruch).

Zu zweitens: Richtig, die Metrikeigenschaften nachrechnen oder ein Gegenbeispiel angeben wenn eine Metrikeigenschaft verletzt ist.

30.10.2009, 08:28

Hoffie89

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Supi vielen Dank

die Aufg. 1 habe ich jetzt denke ich hinbekommen, aber bei Aufg. 2 weiß ich nicht genau wie ich das nachrechnen soll, insbesondere b verwirrt mich, mit dem max.

30.10.2009, 08:47

Mazze

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Rechne doch einfach die Metrikeigenschaft nach. 2.a) ist klar eine Metrik, sei zum Beispiel :

$\begin{eqnarray*} d\left(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right) = d_1(x,x) + d_2(y,y) = 0 \end{eqnarray*}$

Sei

$\begin{eqnarray*} d\left(\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \right) = 0 \end{eqnarray*}$

dann ist also

$\begin{eqnarray*} d_1(x_1,x_2) + d_2(y_1,y_2) = 0 \end{eqnarray*}$

Nun wissen wir das Metriken nichtnegativ sind, daraus folgt

$\begin{eqnarray*} d_1(x_1,x_2) = 0, d_2(y_1,y_2) = 0, \text{ also } \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das sind schon die ersten beiden Metrikeigenschaft. Symmetrie ist sehr einfach und die Dreiecksungleichung ist auch nicht schwer.

Was die b) angeht, lasst dich nicht vom maximum erschrecken. Setze einfach die einzelnen Bedingungen richtig an.

30.10.2009, 09:19

Hoffie89

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bei der symmetrie, muss ich doch zeigen, dass d((x1,y1),(x2,y2)) = d((x2,y2),(x1,y2)) ist, aber wie?
nehme ich mir da einfach wieder irgendwas?? oder reicht das schon???

30.10.2009, 09:30

Mazze

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Zitat:

nehme ich mir da einfach wieder irgendwas?? oder reicht das schon???

Du musst es allgemein zeigen, also das

$\begin{eqnarray*} d\left(\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \right) = d\left(\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$

Das heisst Du fängst auf der Linken Seite an, setzt die Definition von d ein und benutzt dann die Symmetrie von d1 und d2.

30.10.2009, 15:35

sergej88

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prof. geoffery hemion lässt grüssen Augenzwinkern

ps. zu spät die aufgabe musste heute abgegeben werden Augenzwinkern

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Ein metrischer Raum heißt zusammenhängend...

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