Wie kann ich beweisen, dass eine Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv ist? |
| 30.10.2009, 08:05 | alexa89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Wie kann ich beweisen, dass eine Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv ist? Ich weiß zwar, was es bedeutet, wenn eine Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv ist, jeodch weiß ich nicht wie den eintretenden Fall dann auch (formal korrekt!) beweisen kann. Es handelt sich bei der zu bearbeiten Abbildung um f(x)= (8-x)/x Der maximale Definitionsbereich soll beschrieben werden. Laut meinen Überlegungen ist dieser IR. Ist mit der Bildmenge gemeint , was für y-Werte erreicht werden können? Das würde für ein offenes Intervall von -1 bis -9 sprechen. Außerdem steht in der Aufgabe noch folgendes: "Begründen Sie, dass durch f(x) für x ungleich 0 und f(0)=-1 eine Funktion von IR nach IR definiert die bijektive ist." Was soll ich da machen? Ist das nicht schon mit den obigen Überlegungen getan? |
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| 30.10.2009, 08:16 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Setze mal 0 ein.
Ganz genau, wenn Du eine Funktion hast, dann nennt man X auch Urbildraum oder Urbildmenge und Y Bildraum oder Bildmenge
Du sollst zeigen das die so definierte Funktion bijektiv ist 
. Dazu zeigst Du injektivität und surjektivität. Die Injektivität beweist Du streng nach definition also :(das musst Du zeigen) Dafür betrachtest Du zwei Fälle x = 0 und x != 0. Für x = 0 ist das Ganze trivial, also , dann musst Du zeigen Für die Surjektivität musst Du zeigen das wir alle Bildelemente treffen. Du musst also zeigen das es für ein x gibt mit . Das machst Du am besten in dem du nach x umstellst , dann erhälst Du nämlich den Kandidaten fürs Urbild. |
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| 30.10.2009, 08:26 | alexa89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Guten Morgen! Wenn ich 0 einsetze, ergibt sich doch f(0)=-1. Was ändert das am maximalen Definitionsbereich? Ist die Bildmenge dann wirklich der offene Intervall von -1 bis -9 und wie kann ich das beweisen. Reicht es, wenn ich die Grenzwerte angebe? um zu zeigen, dass f(x)=f(y) ist, reicht es dorch einfach irgendeine zahl einzusetzen? Und bei f(x)=y setze ich irgendeinen Wert für y ein? Gruß alexa89 |
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| 30.10.2009, 08:31 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
f(0) = -1? Du dividierst hier durch null, ist 8/0 = -1? Sicherlich nicht ... Und auch dein Wertebereich stimmt nicht. Setzt doch mal 1 ein. Dann ist f(1) = 7/1 = 7. Du musst dir überlegen: Was können bei (8-x)/x für Werte rauskommen? |
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| 30.10.2009, 08:32 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Huch, ich stelle fest, Du teilst mit Vorliebe durch 0. Denk noch einmal darüber nach.
Nein, die Bildmenge ist . Das kannst Du auch zeigen in dem Du nach x umstellst. Dann siehst Du welche y wir treffen.
Definitiv nicht. Beweis durch Beispiel ist immer falsch. Beispiel : Alle reellen Zahlen sind größer Null. Beweis : 1 ist eine reelle Zahl und größer Null, damit sind alle reellen Zahlen größer als 0. Siehst Du was schief geht? Die Injektivität musst Du allgemein beweisen. Den Ansatz hab ich dir sogar schon hingeschrieben.
Nein, du rechnest allgemein mit y weil Du ja jede beliebige Zahl vom Bildbereich ausdrücken willst, nicht nur eine. |
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| 30.10.2009, 08:39 | alexa89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Danke schonmal für die schnelle Hilfe! Das Blöde ist, dass auf meinem Aufgabenzettel die Funktion "vereinfacht" wurde und da jetzt (8/x)-1 steht. Deswegen bin ich auf die -1 gekommen
Ich werde heute nachmittag/abend mal versuchen die Aufgabe so zu lösen, wie du es gesagt hat. Wäre es ok, wenn ich dann meine Rechnungen nochmal online stelle und du drüber guckst? Gruß alexa89 |
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| 30.10.2009, 08:49 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Sofern alles lesbar ist, kein Problem. |
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