Fourier-Analysis Integral berechnen

30.10.2009, 10:58	Galileo995703	Auf diesen Beitrag antworten »
Fourier-Analysis Integral berechnen Hey Leute, ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe: Sei f: R -> R gegeben durch $\begin{eqnarray} f(t)=sin(2t) \cdot cos(2t) \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie den Wert des bestimmten Integrals: $\begin{eqnarray} \int_{-\pi }^{\pi }~f(t)\cdot sin(4t)~dt \end{eqnarray}$ Das Integral heißt ja ausgeschrieben: $\begin{eqnarray} \int_{-\pi }^{\pi }~(sin(2t) \cdot cos(2t))\cdot sin(4t)~dt \end{eqnarray}$ Ich habe hierbei nun versucht zu substituieren und kam auf: $\begin{eqnarray} k=sin(2t) \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} \frac{dk}{dt}=2cos(2t) \end{eqnarray}$ Für das Integral bedeutet dies: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{0}~(\frac{1}{2}x\cdot sin(4t)~dk \end{eqnarray}$ Hierbei bekomm ich aber den Term $\begin{eqnarray} sin(4t) \end{eqnarray}$ nicht weg. Außerdem kommen mir die neuen Grenzen sehr schleierhaft vor. Wie kann ich bei der Aufgabe vielleicht anders ran gehen, um auf eine Lösung zu kommen? Danke schonmal für eure Antworten!!!
30.10.2009, 11:04	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Additionstheoreme sind dein Freund! $\begin{eqnarray} \sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t) \end{eqnarray}$ Damit ergibt sich : $\begin{eqnarray} \sin(2t)\cos(2t) = \frac{1}{2}\sin(4t) \end{eqnarray}$ also insgesamt das Integral : $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi \sin^2(4t)dt \end{eqnarray}$ und mit $\begin{eqnarray} \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \end{eqnarray}$ erledigt sich das Integral ohne Substitution.
30.10.2009, 11:15	Galileo995703	Auf diesen Beitrag antworten »
wow...ich muss mal sagen...du bist...auch wenn es bald mittag is...echt der aller beste !!! dann werd ich wohl mal die additionstheoreme zu meinen freunden aufnehmen ... danke danke danke

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