Erwartungstreue des gewichteten Schätzers

30.10.2009, 12:21

sara88

Erwartungstreue des gewichteten Schätzers

hallo,

habe folgendes problem:

Sei y1, y2, y,3 eine Zufallsstichropbe aus iid ( $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \omega^2 \end{eqnarray*}$ )

ist der gewichtete Schätzer bw=0.5y1+1/3y2+1/6y3 erwartungstreu?

also laut mir heißt erwartungstreu:

E(bw)=E(yi)

könnte mir jemand das bestätigen? und viel. einen kleinen Input geben wie ich vorgehen muss? wäre sehr dankbar

lg sara

30.10.2009, 15:48

Cel

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RE: Erwartungstreue des gewichteten Schätzers

Zitat:

Original von sara88
Sei y1, y2, y,3 eine Zufallsstichropbe aus iid ( $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \omega^2 \end{eqnarray*}$ )

ist der gewichtete Schätzer bw=0.5y1+1/3y2+1/6y3 erwartungstreu?

Was ist denn bei dir iid ( $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \omega^2 \end{eqnarray*}$ )? Und was soll der Schätzer denn schätzen? Die Wahrscheinlichkeit, y1, y2, y3 als Ergebnis zu erhalten? Mit einem Schätzer kann man auch Erwartungswerte, Varianzen, etc. ... schätzen, wie du vielleicht weist.

30.10.2009, 16:48

sara88

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Also das ist die gesamte Angabe:

Sei y1, y2 und y3 eine Zufallsstichprobe aus einer iid( $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \omega^2 \end{eqnarray*}$ ) Grundgesamtheit (d.h. y
ist identically and independently distributed mit Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ und Varianz $\begin{eqnarray*} \omega^2 \end{eqnarray*}$ ).

ist der gewichtete Schätzer bw= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}y1+\frac{1}{3}y2+\frac{1}{6}y3 \end{eqnarray*}$ erwartungstreu?

also laut mir heißt erwartungstreu:

E(bw)=E(yi)

könnte mir jemand das bestätigen? und viel. einen kleinen Input geben wie ich vorgehen muss? wäre sehr dankbar

lg

30.10.2009, 17:08

Cel

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Zitat:

Original von sara88
also laut mir heißt erwartungstreu:

E(bw)=E(yi)

könnte mir jemand das bestätigen? und viel. einen kleinen Input geben wie ich vorgehen muss? wäre sehr dankbar

Im Wesentlichen kann man das so sagen, ja. Und hier, was musst du tun? E(bw) = ? Setzt doch mal ein und nutz die Eigenschaften des Erwartungswertes aus ...

30.10.2009, 17:49

sara88

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danke für deine rasche antwort...aber ich versteh leider nicht wie man den erwartungswert von bw berechnet? ich hab jo keine y gegeben..sry kenn mich momentan gar nich mehr aus..

30.10.2009, 17:57

sara88

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könnte es so stimmen:

$\begin{eqnarray*} E(bw)=\frac{1}{2}*E(y1)+\frac{1}{3}*E(y2)+\frac{1}{6}*E(y3) \end{eqnarray*}$

das ist

E(bw)=1*E(yn)

???

also wäre er erwartungstreu?

30.10.2009, 18:02

Cel

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Machen wir uns noch einmal gemeinsam klar, was ein Schätzer überhaupt tut (ich muss mich selber auch ein wenig hinarbeiten ... Big Laugh

)

Also, wir haben diese drei Zufallsvariablen y1, y2, y3, die unabhängig identisch sind.

Mit dem Schätzer soll eine unbekannte Kenngröße geschätzt werden.

Zum Beispiel seien $\begin{eqnarray*} X_1, \dots, X_n \end{eqnarray*}$ unaghängig identisch verteilt. Wir wollen nun den Erwartungswert schätzen, da wir nicht wissen, wie die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ verteilt sind. Diesen Erwartungswert nennen wir $\begin{eqnarray*} g(\vartheta) \end{eqnarray*}$ . Es soll also gelten $\begin{eqnarray*} E(X_i) = g(\vartheta) \end{eqnarray*}$ .

Also nutzen wir den Standard-Mittelwertschätzer $\begin{eqnarray*} \bar{X_n} = \frac{1}{n}(X_1 + \dots + X_n) \end{eqnarray*}$

Ist dieser erwartungstreu? Ja, denn $\begin{eqnarray*} E(\bar{X_n}) = E(\frac{1}{n}(X_1 + \dots + X_n)) = \frac{1}{n} E(n * X_1) = E(X_1) = g(\vartheta) \end{eqnarray*}$

Analog geht es bei deinem Beispiel, was du ja auch schon gelöst hast, wie ich sehe. smile

30.10.2009, 19:22

sara88

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vielen vielen Dank, hast mir sehr geholfen Blumen

31.10.2009, 12:38

Cel

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Zitat:

Original von ChrisB

Zitat:

Original von sara88
also laut mir heißt erwartungstreu:

E(bw)=E(yi)

könnte mir jemand das bestätigen? und viel. einen kleinen Input geben wie ich vorgehen muss? wäre sehr dankbar

Im Wesentlichen kann man das so sagen, ja.

Eine kleine Anmerkung noch dazu: Allgemein gilt das nicht, hier nur, weil die zu schätzende Größe der Erwartungwert ist. Ein kleines anderes Beispiel:

Bei einer Gamma - Verteilung $\begin{eqnarray*} \Gamma_{\alpha, \nu} \end{eqnarray*}$ kann man auch zum Beispiel den Parameter Alpha schätzen mit dem Schätzer $\begin{eqnarray*} \hat{g}(\alpha) \end{eqnarray*}$ . Dann muss für Erwartungstreue gelten:

$\begin{eqnarray*} E(\hat{g}(\alpha)) = \alpha \end{eqnarray*}$ , da hier $\begin{eqnarray*} g = id \end{eqnarray*}$

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