Gleichmäßige Konvergenz Funktionenfolge, Bestimmung Grenzfunktion, Problem: Produkt von 0 und infty

30.10.2009, 14:40

lena1989

Gleichmäßige Konvergenz Funktionenfolge, Bestimmung Grenzfunktion, Problem: Produkt von 0 und infty

Hallo,

zur Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac{1}{1+nx} \end{eqnarray*}$ möchte ich die Grenzfunktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bestimmen und letztendlich entscheiden, ob gleichmäßige Konvergenz auf dem Intervall zwischen 0 und Unendlich vorliegt.

Sicher weiß ich $\begin{eqnarray*} f(x \neq 0) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{f_n(x)} = 0 \end{eqnarray*}$ . Ist hingegen $\begin{eqnarray*} f(x = 0) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{f_n(0)} = 1 \end{eqnarray*}$ ? Wie behandele ich das Produkt im Nenner der Funktionenfolge aus n und x also $\begin{eqnarray*} \infty \cdot 0 \end{eqnarray*}$ ?

Ich bin also schon beim ersten Teil der Aufgabe hängen geblieben und hab zum zweiten Teil noch jede Menge Fragen Tränen

Danke an alle Helfer!
Lena

30.10.2009, 14:49

Cel

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Wenn x = 0 ist, dann gilt

$\begin{eqnarray*} f_n(0) = 1 \end{eqnarray*}$ . Also steht hinter dem Limes eigentlich eine konstante 1. Und der Limes von 1 für n gegen unendlich ist 1. Die Frage, was "unendlich mal null" ist, stellt sich gar nicht.

30.10.2009, 15:50

lena1989

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Gleicmäßige Konvergenz
Leuchtet ein: Danke!

Meine Grenzfunktion lautet also: $\begin{eqnarray*} f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & x = 0 \\ 0 & \text{sonst} \end{array} \right\} \end{eqnarray*}$

Bei gleichmäßiger Konvergenz muss ja gelten $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\:\sup\limits_{0\leq x < \infty}{| f(x)-f_n(x)|} } =0 \end{eqnarray*}$

Unterscheide ich dann zwischen den beiden Fällen $\begin{eqnarray*} x =0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ ? Im ersten Fall ist das Supremum der Differenzbetrages ja 1-1 = 0 und im zweiten Fall 0-0=0. Oder sage ich: f(x) ist größtenfalls 1 und f_n(x) ist kleinstenfalls 0 (umgedreht ginge auch), aber in jedem Fall ist der Limes des Supremums 1 und damit liegt keine gleichmäßig Konvergenz vor?

Welchen der beiden Wege muss ich gehen und am besten noch warum? Sorry, dass meine Antwort so lange benötigt, aber ich komm mit Latex noch nicht gnaz zurecht verwirrt

30.10.2009, 15:58

tmo

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1. Möglichkeit: Direkt über die Definition mit dem Supremum.

Für $\begin{eqnarray*} 0<x<\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \left|f(x)-f_n(x)\right| = \left|\frac{1}{1+nx}\right| > \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Also ist sicher $\begin{eqnarray*} \sup_{x \in D_f} |f(x)-f_n(x)| \geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Demnach kann der Grenzwert dieses Ausdrucks nicht 0 sein.

Was folgt?

2. Möglichkeit: Hast du schon irgendetwas über Eigenschaften der gleichmäßigen Konvergenz bzgl. Stetigkeit gehört?

30.10.2009, 15:58

Cel

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Am einfachsten machst du es dir, wenn du feststellst, dass die Grenzfunktion nicht stetig ist. Das ist aber notwendig, damit $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ überhaupt gleichmäßig konvergieren kann.

Deine Argumentation scheint aber auch möglich zu sein, mit einer kleinen Einschränkung: Wann wird denn f_n(x) gleich 0? Du musst so argumentieren: f_n(x) wird am kleinsten bei 0 und f(x) wird am größten bei 0. Als Abstand hast du dann 1. Also keine gleichmäßige Konvergenz. Mit meinem ersten Vorschlag ziehst du dich aber eleganter aus der Affäre.

30.10.2009, 16:02

lena1989

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Kurze Rückfrage fern der Aufgabenstellung

Zitat:

Original von ChrisB
Wenn x = 0 ist, dann gilt

$\begin{eqnarray*} f_n(0) = 1 \end{eqnarray*}$ . Also steht hinter dem Limes eigentlich eine konstante 1. Und der Limes von 1 für n gegen unendlich ist 1. Die Frage, was "unendlich mal null" ist, stellt sich gar nicht.

Zwischenfrage, obwohls nicht zur Aufgabe gehört:

Wenn ich $\begin{eqnarray*} f_n(x) \leq \frac{1}{n\cdot x} \end{eqnarray*}$ abschätze und nun an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ den Limes bilden möchte $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty,x \rightarrow 0^+}\frac{1}{n\cdot x} \end{eqnarray*}$

Existiert dieser Ausdruck? Jetzt stellt sich doch aber die Frage nach dem Produkt aus Null und Unendlich...

30.10.2009, 16:12

lena1989

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@tmo:

Zitat:

Original von tmo
Für $\begin{eqnarray*} 0<x<\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \left|f(x)-f_n(x)\right| = \left|\frac{1}{1+nx}\right| > \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Also ist sicher $\begin{eqnarray*} \sup_{x \in D_f} |f(x)-f_n(x)| \geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Demnach kann der Grenzwert dieses Ausdrucks nicht 0 sein.

Mit welchem Recht schleißt Du denn a priori x=0 aus?

30.10.2009, 16:15

tmo

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Wenn ich kleines Intervall das Definitionsbereich angeben kann, indem der Ausdruck einen Wert größer als 0,5 animmt, ist der restliche Bereich das Definitionsbereich (und damit auch x=0) völlig egal. Das Supremum muss mindestens 0,5 betragen.

30.10.2009, 16:18

lena1989

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@ChrisB:

Zitat:

Original von ChrisB
Deine Argumentation scheint aber auch möglich zu sein, mit einer kleinen Einschränkung: Wann wird denn f_n(x) gleich 0? Du musst so argumentieren: f_n(x) wird am kleinsten bei 0 und f(x) wird am größten bei 0. Als Abstand hast du dann 1.

Bei x=0 haben wir f_n(0)=f(x)=1. Also Abstand 0. Und bei x ungleich 0 haben wir f_n(x)=f(x)=0. Abstand 0. Das war ja mein Problem bzw. die erste Variante die ich vorgeschalgen habe. Wieso ist dies aber falsch? Bei Abstand 0 wäre ja gleichmäßige Konvergenz gegeben... verwirrt

30.10.2009, 16:21

lena1989

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Zitat:

Original von tmo
Wenn ich kleines Intervall das Definitionsbereich angeben kann, indem der Ausdruck einen Wert größer als 0,5 animmt, ist der restliche Bereich das Definitionsbereich (und damit auch x=0) völlig egal. Das Supremum muss mindestens 0,5 betragen.

Wow, das ist dann ja wirklich sehr elegant gelöst Freude

Wenn ich also im Intervall einen Abstand größer 0 finde ist schon gleichmäßig Konvergenz ausgeschlossen!!

30.10.2009, 17:19

Cel

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Zitat:

Original von lena1989
@ChrisB:

Zitat:

Da haben wir aneinander vorbei geredet: Du sprachst vom Abstand, ich vom Funktionswert.

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