Schwerpunkt einer Menge

30.10.2009, 15:05

Lafee

Schwerpunkt einer Menge

Hi, kann mir jemand Helfen den Schwerpunkt einer Menge zu berechnen:
$\begin{eqnarray*} K = \left\{ (x,y) \in \mathbb R | x^2 + y^2 \leq R^2 , y \geq 0 \right\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} R>0 \end{eqnarray*}$
Also ich weiß, dass es sich um einen Halbkreis handelt mit Radius R.
Damit kann ich auch das Volumen berechnen mit: $\begin{eqnarray*} V=\frac{1}{2}\pi ^2 R \end{eqnarray*}$
Doch nun wenn ich den Schwerpunkt mit der Formel: $\begin{eqnarray*} S_x = \frac{1}{V} \int_{K}^{}~x~d(x,y) \end{eqnarray*}$
ausrechnen will brauche ich doch irgendeine Formel sodass ich die Menge als Funktion ausdrücke oder?
Wie mache ich das?

30.10.2009, 15:27

Lafee

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Habe gerade eine idee, muss ich es in ein anderes koordinatensystem bringen?
Würde dann Kugelkoordinaten nehmen mit:
$\begin{eqnarray*} x=r*cos \gamma \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=r*sin \gamma \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} r\leq2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0\leq \gamma \leq \pi \end{eqnarray*}$

30.10.2009, 15:43

tmo

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Die x-Koordinate des Schwerpunktes ist aus Symmetriegründen leicht zu bestimmen.

Oder mit dem Integral:
$\begin{eqnarray*} \int_{K}^{}~x~d(x,y)=\int_0^{\sqrt{r^2-x^2}}~\int_{-r}^rxdx~dy=\int_0^{\sqrt{r^2-x^2}}~0~dy=0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} S_x=0 \end{eqnarray*}$ .

Die y-Koordinate hingegen ist nicht trivial. Aber wenn du dir überlegst, wie ich auf die Grenzen gekommen bin, sollte dir das auch nicht mehr schwer fallen.

30.10.2009, 15:53

Lafee

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Hab keine Ahung wie ich die Grenzen einsetzen soll, habe mal den Ansatz versucht:
$\begin{eqnarray*} S_y = \frac{1}{V} \int_{K}^{}~y~d(x,y) = \frac{1}{V} \int_{0}^{R}~\int_{0}^{\pi }~ r*sin \gamma ~d\gamma ~dr \end{eqnarray*}$
Hab dann für das Doppelintegral $\begin{eqnarray*} R^2 \end{eqnarray*}$ rausbekommen, was aber nicht stimmen kann oder?
Weil endergebniss wäre: $\begin{eqnarray*} \frac{2}{\pi } \end{eqnarray*}$

30.10.2009, 16:20

Leopold

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Mit $\begin{eqnarray*} \alpha = \pi \end{eqnarray*}$ siehe hier.

30.10.2009, 16:29

Lafee

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Super damit komme ich aufs richtige ergebniss smile

Kann mir nur noch jemand sagen, wieso es:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{V} \int_{0}^{R}~\int_{0}^{\pi }~ r*r*sin \gamma ~d\gamma ~dr \end{eqnarray*}$
und nicht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{V} \int_{0}^{R}~\int_{0}^{\pi }~ r*sin \gamma ~d\gamma ~dr \end{eqnarray*}$ sein muss?

MfG

30.10.2009, 16:37

Leopold

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Mit $\begin{eqnarray*} x = r \cos \gamma \, , \ y = r \sin \gamma \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} y~\dd (x,y) = r \sin \gamma \cdot r~\dd (r,\gamma) \end{eqnarray*}$

Der letzte Faktor $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ kommt von der Funktionaldeterminanten der Substitution: $\begin{eqnarray*} \frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\gamma)} = r \end{eqnarray*}$

31.10.2009, 10:06

Lafee

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2 Fragen bleiben mir noch offen:

1.wenn ich die Aufgabe ohne umwandlung machen wollen würde, wie tmo gezeigt, wie müssen dann die Integrationsgrenzen aussehen?

2.Wenn die aufgabe wäre: $\begin{eqnarray*} K = \left\{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 | x^2 + y^2+z^2 \leq R^2 , z \geq 0 \right\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} R >0 \end{eqnarray*}$ . Wäre es ratsam in Kugelkoordinaten umzuwandeln oder so weiterzurechnen? Wie sähen da die Intergatsionsgrenzen aus? ich muss ja diesmal wieder nur eine sache berechnen undzwar bei der z-Achse

31.10.2009, 12:04

Leopold

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Bei tmo stimmt etwas nicht. Es müßte

$\begin{eqnarray*} \int_{-r}^r \int_0^{\sqrt{r^2 - x^2}} x~\dd y~\dd x \ \ \ \text{oder} \ \ \ \int_0^r \int_{-\sqrt{r^2 - y^2}}^{\sqrt{r^2 - y^2}} x~\dd x~\dd y \end{eqnarray*}$

heißen.

31.10.2009, 18:08

Lafee

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Zitat:

Original von Lafee
2 Fragen bleiben mir noch offen:

1.wenn ich die Aufgabe ohne umwandlung machen wollen würde, wie Leopold gezeigt, wie müssen dann die Integrationsgrenzen aussehen?

2.Wenn die aufgabe wäre: $\begin{eqnarray*} K = \left\{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 | x^2 + y^2+z^2 \leq R^2 , z \geq 0 \right\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} R >0 \end{eqnarray*}$ . Wäre es ratsam in Kugelkoordinaten umzuwandeln oder so weiterzurechnen? Wie sähen da die Intergatsionsgrenzen aus? ich muss ja diesmal wieder nur eine sache berechnen undzwar bei der z-Achse

Die bleiben beide weiterhin offen smile

31.10.2009, 19:59

Leopold

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Hier steht es doch:

Zitat:

Original von Leopold
Bei tmo stimmt etwas nicht. Es müßte

$\begin{eqnarray*} \int_{-r}^r \int_0^{\sqrt{r^2 - x^2}} x~\dd y~\dd x \ \ \ \text{oder} \ \ \ \int_0^r \int_{-\sqrt{r^2 - y^2}}^{\sqrt{r^2 - y^2}} x~\dd x~\dd y \end{eqnarray*}$

heißen.

Und auf den Gedanken, den Integranden $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ zu ersetzen, könnte man ja selber kommen. Und natürlich muß man noch durch den Flächeninhalt des Halbkreises dividieren.

Und analog bei der Kugel. Ist $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ das Volumen der Halbkugel

$\begin{eqnarray*} H: \ x^2 + y^2 + z^2 \leq R^2 \, , \ z \geq 0 \end{eqnarray*}$

so ist die z-Koordinate des Schwerpunktes

$\begin{eqnarray*} z_S = \frac{1}{V} \int_H z~\dd (x,y,z) \ \ = \ \ \frac{1}{V} \int \limits_{x^2 + y^2 \leq R^2} \left( \int \limits_0^{\sqrt{R^2 - \left( x^2 + y^2 \right)}} z~\dd z \right)~\dd (x,y) \end{eqnarray*}$

EDIT

Schneller geht es übrigens, wenn man die Integrationsreihenfolge vertauscht:

$\begin{eqnarray*} z_S = \frac{1}{V} \int \limits_0^R \left( \ \int \limits_{x^2 + y^2 \leq R^2 - z^2} z~\dd (x,y) \right) ~\dd z = \frac{1}{V} \int \limits_0^R z \left( \ \int \limits_{x^2 + y^2 \leq R^2 - z^2} \dd (x,y) \right)~\dd z \end{eqnarray*}$

Denn den Wert des inneren Integrals kann man jetzt sofort angeben (Elementargeometrie: Deutung als Flächeninhalt).

01.11.2009, 14:39

Lafee

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Zitat:

Original von Leopold
so ist die z-Koordinate des Schwerpunktes

$\begin{eqnarray*} z_S = \frac{1}{V} \int_H z~\dd (x,y,z) \ \ = \ \ \frac{1}{V} \int \limits_{x^2 + y^2 \leq R^2} \left( \int \limits_0^{\sqrt{R^2 - \left( x^2 + y^2 \right)}} z~\dd z \right)~\dd (x,y) \end{eqnarray*}$

Wenn ich dies nun damit rechnen will, dann bekomme ich ja für:
$\begin{eqnarray*} \int \limits_0^{\sqrt{R^2 - \left( x^2 + y^2 \right)}} z~\dd z = \frac{1}{2}(R^2-x^2-y^2) \end{eqnarray*}$ raus.
Doch ich habe immer ein Problem die Grenzen dann richtig zu setzen für das Weitere Integral, also wie muss ich nun
$\begin{eqnarray*} \int \limits_{x^2 + y^2 \leq R^2} \end{eqnarray*}$ zerlegen? Forum Kloppe

01.11.2009, 15:42

Lafee

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Ich habs nun doch hinbekommen smile

Danke für die Hilfe. smile

01.11.2009, 16:07

Lafee

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Zitat:

Original von Leopold
Schneller geht es übrigens, wenn man die Integrationsreihenfolge vertauscht:

$\begin{eqnarray*} z_S = \frac{1}{V} \int \limits_0^R \left( \ \int \limits_{x^2 + y^2 \leq R^2 - z^2} z~\dd (x,y) \right) ~\dd z = \frac{1}{V} \int \limits_0^R z \left( \ \int \limits_{x^2 + y^2 \leq R^2 - z^2} \dd (x,y) \right)~\dd z \end{eqnarray*}$

Denn den Wert des inneren Integrals kann man jetzt sofort angeben (Elementargeometrie: Deutung als Flächeninhalt).

Doch noch etwas

Das innere Integral wäre ja dann $\begin{eqnarray*} \pi R^2 \end{eqnarray*}$ und insgesamt würde $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}R^4 \pi \end{eqnarray*}$ rauskommen, was aber nicht stimmt oder?

01.11.2009, 16:38

Leopold

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$\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 \leq R^2 - z^2 \end{eqnarray*}$ beschreibt in der $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Ebene einen Kreis vom Radius $\begin{eqnarray*} \sqrt{R^2 - z^2} \end{eqnarray*}$ . Also hat das innere Integral den Wert

$\begin{eqnarray*} \pi \left( \sqrt{R^2 - z^2} \right)^2 = \pi \left( R^2 - z^2 \right) \end{eqnarray*}$

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