Vollständige Induktion

30.10.2009, 16:23

chrissimo

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Vollständige Induktion

Also wir sollen mit vollständiger Induktion folgendes zeigen

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~(1+a)^{k}=(1/a)((1+a)^{n+1}-1) \end{eqnarray*}$

nun habe ich schon den induktionsanfang, induktionsvorraussetzung und induktionsbehauptung.
jetzt begine ich mit den induktionsbeweis

ich beginne meinen schritt mit
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~0(n+1)(1+a)^{k}=(1/a)((1+a)^{n+1}-1)+n+1 \end{eqnarray*}$
und müsste jetzt auf
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~0(n+1)(1+a)^{k}=(1/a)((1+a)^{n+2}-1) \end{eqnarray*}$
kommen, aber ich komme nicht drauf
könnt ihr mir helfen

30.10.2009, 16:30

Leopold

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Ich verstehe nicht, wo das $\begin{eqnarray*} 0(n+1) \cdot \ldots \end{eqnarray*}$ herkommt, und vor allem, was es da soll!

30.10.2009, 16:36

chrissimo

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naja ich hatte gedacht dass ich das mit auf die andere seite ziehen muss damit es aufgeht und habe deswegen eine Nullmultiplikation drausgemacht

30.10.2009, 16:45

Leopold

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Aber $\begin{eqnarray*} 0 (n+1)(1+a)^k \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , und damit ist auch $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n 0 = 0 \end{eqnarray*}$ .

30.10.2009, 16:53

chrissimo

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also war das fehler,
aber das ist ja nicht so ausschlaggebend
wie komme ich von3 auf 2 mit umformen zurück???

30.10.2009, 16:53

chrissimo

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danke für den hinweis

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30.10.2009, 17:03

Leopold

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RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Original von chrissimo
nun habe ich schon den induktionsanfang, induktionsvorraussetzung und induktionsbehauptung.

Schreibe diese Dinge einmal ordentlich auf. Da scheint mir der Fehler zu stecken.

30.10.2009, 17:23

chrissimo

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RE: Vollständige Induktion
ok,
Mein Induktionanfang ist folgender
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^1~(1+a)^{k} = (1/a)((1+a)^{1+1}-1) \end{eqnarray*}$
das ausgeschrieben sieht bei mir so aus
$\begin{eqnarray*} (1+a)^{0} + (1+a)^{1} = (1/a)(1+2a+a^{2}-1 \end{eqnarray*}$
und zusammengefasst
$\begin{eqnarray*} 2+a=2+a \end{eqnarray*}$

meine Induktionsvorraussetzung ist dann so:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~(1+a)^{k} = (1/a)((1+a)^{n+1}-1) \end{eqnarray*}$

und meine behauptung ist dann diese
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~(1+a)^{k} = (1/a)((1+a)^{n+1+1}-1) \end{eqnarray*}$

und im beweis ist mein erster schritt
$\begin{eqnarray*} (1/a)((1+a)^{n+1}-1)+(n+1) \end{eqnarray*}$

und nun komme ich nicht mehr weiter:

30.10.2009, 17:45

Leopold

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1.
Du setzt den Induktionsanfang bei $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ an. Es geht auch mit $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ . Aber sei's drum.

2.
Du solltest beim Induktionsanfang beide Seiten der Gleichung getrennt ausrechnen und erst am Schluß ihre Übereinstimmung feststellen. Einen Beweis nie mit der Behauptung anfangen!

3.
Die Induktionsvoraussetzung stimmt (bis auf die Tatsache, daß man Voraussetzung nur mit einem r schreibt).

4.
Die Induktionsbehauptung ist falsch. Möglicherweise ist es nur ein Schreibfehler, aber die Summe muß bis $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ laufen.

5.
Und wenn du jetzt die Induktionsbehauptung nachweisen willst, solltest du auch wieder mit der linken Seite anfangen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1 \ \text{(!!!)}} (1+a)^k = \left( \sum_{k=0}^n (1+a)^k \right) + (1+a)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Und wie du siehst, ist der neu hinzukommende Summand nicht $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} (1+a)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Verwende nun die Induktionsvoraussetzung und forme geschickt um, bis du die rechte Seite der Induktionsbehauptung erhältst.

30.10.2009, 18:10

chrissimo

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vielen danke für die antwort
nun habe ich noch ein Problem
wie bekomme
$\begin{eqnarray*} (1+a)^{n+1} \end{eqnarray*}$
auspotenzieren oder muss ich das gar nicht machen???

30.10.2009, 18:20

Leopold

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Warum wollen die Leute immer alles ausmultiplizieren, auspotenzieren! Das ist ja nicht zum Aushalten!

Denke doch an das Ziel! Du mußt ja irgendwie auf $\begin{eqnarray*} (1+a)^{n+2} \end{eqnarray*}$ kommen.

30.10.2009, 18:23

chrissimo

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aber wie soll ich denn sonst zusammenfassen???

30.10.2009, 18:28

Leopold

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Wie sieht denn die Sache nach Anwendung der Induktionsvoraussetzung aus? Schreibe das einmal hin. Bevor das nämlich nicht steht, brauchen wir hier nicht weiterzumachen.

30.10.2009, 18:43

chrissimo

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wenn ich die Induktionsvorausetzung anwende komme ich auf
$\begin{eqnarray*} (1/a)((1+a)^{n+1}-1)+(1+a)^{n+1} \end{eqnarray*}$
dann könnte ich so umformen
$\begin{eqnarray*} (((1+a)^{n+1}-1)/a)+(a(1+a)^{n+1}/a) \end{eqnarray*}$
und dann auf den großen Bruchstrich
$\begin{eqnarray*} ((a(1+a)^{n+2}-1)/a) \end{eqnarray*}$
und dann einfach einfach wieder
$\begin{eqnarray*} (1/a)((1+a)^{n+2}-1) \end{eqnarray*}$
schreiben und dann sind wir wieder bei der behauptung
oder????

30.10.2009, 18:46

Leopold

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In der dritten Zeile stimmt etwas nicht.

30.10.2009, 18:56

chrissimo

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oh ja da war ich doch ein bissl zu schnell
in der dritten Zahl steht
$\begin{eqnarray*} (((1+a)^{n+1}-1)+a(1+a)^{n+1})/a) \end{eqnarray*}$
aber wenn ich das a jetzt reinmultiplieziere komm ich auf das
$\begin{eqnarray*} (((1+a)^{n+1}-1)+(a+a^2)^{n+1})/a) \end{eqnarray*}$
wie kann ich jetzt weiter machen???

30.10.2009, 19:47

chrissimo

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oder ist der ansatz richtig????

31.10.2009, 11:21

klarsoweit

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Zitat:

Original von chrissimo
in der dritten Zahl steht
$\begin{eqnarray*} (((1+a)^{n+1}-1)+a(1+a)^{n+1})/a) \end{eqnarray*}$

Da stimmt was mit der Klammersetzung nicht.

Zitat:

Original von chrissimo
aber wenn ich das a jetzt reinmultiplieziere komm ich auf das
$\begin{eqnarray*} (((1+a)^{n+1}-1)+(a+a^2)^{n+1})/a) \end{eqnarray*}$

Und das ist völliger Unfug.

Und wenn du schon Latex verwendet, dann bitte auch Brüche als Brüche schreiben. Also nehmen wir mal:

$\begin{eqnarray*} \frac{(1+a)^{n+1} - 1 + a(1+a)^{n+1}}{a} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du im Zähler $\begin{eqnarray*} (1+a)^{n+1} \end{eqnarray*}$ ausklammern.

31.10.2009, 12:51

chrissimo

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aber wie soll ich den ausmultiplizieren????
aber weil ich bei dem - 1 ein problem habe
also genau hier (ohne den nenner):
$\begin{eqnarray*} (1+a)^{n+1}(1-1????+a) \end{eqnarray*}$
was mache ich mit den -1 oder wie bekomme ich es besser ausmultpikieziert das ich auf
$\begin{eqnarray*} (1/a)((1+a)^{n+1+1}-1) \end{eqnarray*}$

Ps ich weiss nicht wiie ich den Bruchstrich schreiben soll

31.10.2009, 14:28

klarsoweit

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Zitat:

Original von chrissimo
aber wie soll ich den ausmultiplizieren????

Das Wort "ausmultiplizieren" kommt in meinem Beitrag nicht vor.

Zitat:

Original von chrissimo
aber weil ich bei dem - 1 ein problem habe

Die -1 stellst du an die Seite, denn die kann man später gut gebrauchen. Ausklammern brauchst du nur bei den Termen, in denen auch $\begin{eqnarray*} (1+a)^{n+1} \end{eqnarray*}$ vorkommt.

Zitat:

Original von chrissimo
Ps ich weiss nicht wiie ich den Bruchstrich schreiben soll

Klicke bei meinem Beitrag auf "Zitat" und du bekommst den Code. smile

smile

31.10.2009, 16:18

chrissimo

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danke ich habe es verstanden
gruß

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