Potenzmengen

30.10.2009, 17:18

alzenia

Potenzmengen

Hi, ich kann einfach nichts mit dieser Aufgabe anfangen.

"Beweisen oder widerlegen sie: zwei endliche mengen sind genau dann gleich, wenn ihre potenzmengen gleich sind."

die anderen aufgaben waren sicht so schwer, nur würde micht zb auch noch interessieren wie ich folgende aufgabe richtig aufschreibe

"es seien G die menge der geraden und U die der ungeraden natürlichen zahlen, sowie A = {1, 3, 5, 7, 9} und B = {2, 4, 6, 8}"

man bilde die vereinigung, den durchschnitt, die differenzen und die symetrische differenz.

insgesammt sind es ja 30 lösungen weil man ja 5 schritte durchführen muss ( die differenz von beiden seiten) und die mengen sich 6 mal kombinieren lassen

aber weil g und u unendlich sind versteh ich nicht wie ich zb die vereinigung von g und a aufschreiben soll.

bei der vereinigung von g und u hat man ja alle natürlichench zahlen also N. und umgekehrt bei der differenz bleibt ist es die leere menge.

ich bin für jede hilfe sehr dankbar

30.10.2009, 20:56

system-agent

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Zunächst einmal solltest du eigene Ansätze und Ideen mitbringen.

Zur ersten Aufgabe.
Die eine Richtung ist sicher trivial, also wenn die Mengen gleich sind, sind es sicher auch die Potenzmengen.
Für die andere Richtung würde ich über einen Widerspruch gehen.
Seien die Mengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ derart, dass $\begin{eqnarray*} \mathcal P(A)=\mathcal P(B) \end{eqnarray*}$ .
Annahme, dass $\begin{eqnarray*} A\neq B \end{eqnarray*}$ . Dann ist zb $\begin{eqnarray*} A\subset B \end{eqnarray*}$ . Es gibt also ein $\begin{eqnarray*} b\in B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b\notin A \end{eqnarray*}$ . Betrachte nun die Menge $\begin{eqnarray*} \{b\} \end{eqnarray*}$ .

Die Vereingung zweier Menge ist per Definition die Elemente beider Mengen, die in beiden Mengen enthalten sind.
Welche gemeinsamen Elemente haben denn $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ?

30.10.2009, 21:15

Mystic

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Ich denke, die Sache mit den Potenzmengen geht etwas einfacher, wenn man sich überlegt, dass man $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \mathcal P (A) \end{eqnarray*}$ wegen

$\begin{eqnarray*} A= \bigcup_{X \in \mathcal P (A)} X \end{eqnarray*}$

ja sofort zurückgewinnen kann...

31.10.2009, 14:23

Skruwel

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Hallo,
ich habe das gleiche Problem mit der Potenzmenge, wie alzenia. Ich bin mir recht sicher, dass die Aussage wahr ist. Ich kann es auch in meinem Kopf für mich logisch erklären, dass es so ist. Die genannten Ansätze sind ebenfalls für mich nachvollziehbar. Nur trotz der hier genannten Hilfe weiß ich zu wenig über Beweise, um es schriftlich darzustellen. Ich weiß nicht, wie die einzelnen Schritte aussehen sollten. Könnte da wer aushelfen?

Zu dem anderen Problem:

Zitat:

Original von system-agent
[...]
Die Vereingung zweier Menge ist per Definition die Elemente beider Mengen, die in beiden Mengen enthalten sind.
Welche gemeinsamen Elemente haben denn $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ?

"Die Vereinigungsmenge von U ist die Menge der Elemente, die in mindestens einem Element von U enthalten sind" (http://de.wikipedia.org/wiki/Mengenlehre#Vereinigungsmenge)
Die Definition, die du genannt hast, ist die der Schnittmenge.

Ich glaub, ich hab das gleiche Aufgabenblatt gerade vor mir liegen, wie alzenia. Auf jeden Fall habe die gleichen Fragen.
Meine Idee war, es so darzustellen:
$\begin{eqnarray*} A \cup G = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \uplus \{10,12,14,16,...\} \end{eqnarray*}$ bzw.
$\begin{eqnarray*} A \cup G = [9] \uplus \{10,12,14,16,...\} \end{eqnarray*}$

Lässt sich das anders/einfacher schreiben? Ich gehe davon aus. Nur wie?

31.10.2009, 14:38

system-agent

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Was die erste Frage angeht.
Was passiert denn nun mit der Menge $\begin{eqnarray*} \{b\} \end{eqnarray*}$ ? Wo liegt sie? Wo liegt sie nicht? Ist das ein Widerspruch?

Zitat:

Original von Skruwel
Die Definition, die du genannt hast, ist die der Schnittmenge.

Das hast du recht ! Da habe ich Unsinn geschrieben. Entschuldigung dafür.

Du solltest bemerken, dass die "Pünktchen"-Schreibweise zwar recht intuitiv ist, aber formaler Unsinn.
Nehmen wir mal eine formal richtige Darstellung von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ :
Da $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ die Menge aller geraden Zahlen sein soll und eine Zahl genau dann gerade ist, wenn 2 diese Zahl teilt, kann man schreiben
$\begin{eqnarray*} G=\{z\in\mathbb Z\quad:\quad 2|z\} \end{eqnarray*}$ .

Wie sieht dann eine formale Schreibweise für $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ aus?

Nun bemerke, dass alle Elemente von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ungerade sind. Das bedeutet:
$\begin{eqnarray*} A\cup G=\{1,3,5,7,9\}\cup\{z\in\mathbb Z\quad:\quad 2|z\} \end{eqnarray*}$
und das ist sogar eine disjunkte Vereinigung ! [wieso?]

Falls du lieber Pünktchen hast, dann könnte man auch
$\begin{eqnarray*} A\cup G=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,...\} \end{eqnarray*}$

Eine weitere Darstellung ist
$\begin{eqnarray*} A\cup G=\{z\in\mathbb Z\quad:\quad(1\leq z\leq 9) \vee (2|z)\} \end{eqnarray*}$ .

31.10.2009, 15:51

Gargle

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Zitat:

Was passiert denn nun mit der Menge ? Wo liegt sie? Wo liegt sie nicht? Ist das ein Widerspruch?

liegt in B aber nicht in A. Wenn $\begin{eqnarray*} A \neq B \end{eqnarray*}$ sein soll, dann ergibt sich an der Stelle kein Widerspruch. Leuchtet ein, reicht das tatsächlich schon als Beweis aus, dieses zu zeigen?

31.10.2009, 16:09

system-agent

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@Gargle.
Natürlich ist das kein Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} A\neq B \end{eqnarray*}$ , denn ich habe schliesslich angenommen, dass $\begin{eqnarray*} A\neq B \end{eqnarray*}$ gilt.
Es muss sich ein Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} \mathcal P(A)=\mathcal P(B) \end{eqnarray*}$ ergeben.

01.11.2009, 01:01

Skruwel

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Erste Annahme: $\begin{eqnarray*} A = B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \{x\quad:\quad (x\in A \land x\in B) \lor (x\notin A \land x\notin B)\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \{X\quad:\quad (X\subseteq A \cap X\subseteq B) \cup (X\nsubseteq A \cap X\nsubseteq B)\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (\{X\quad:\quad X\subseteq A\} \cap \{X\quad:\quad X\subseteq B\}) \cup (\{X\quad:\quad X\nsubseteq A\} \cap \{X\quad:\quad X\nsubseteq B)\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \{x\quad:\quad (x\in \mathcal P(A) \cap x\in \mathcal P(B)) \cup (x\notin \mathcal P(A) \cap x\notin \mathcal P(B))\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mathcal P(A) = \mathcal P(B) \land \neg\mathcal P(A) = \neg\mathcal P(B) \end{eqnarray*}$

Womit bewiesen ist:

$\begin{eqnarray*} A = B \Rightarrow \mathcal P(A) = \mathcal P(B) \end{eqnarray*}$

Zweite Annahme: $\begin{eqnarray*} A\neq B \land \mathcal P(A)=\mathcal P(B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \{x\quad:\quad (x\in A \land x\notin B) \lor (x\notin A \land x\in B)\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \{x\quad:\quad (x\in \mathcal P(A) \land x\notin \mathcal P(B)) \lor (x\in \mathcal P(A) \land x\notin \mathcal P(B))\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mathcal P(A)\neq \mathcal P(B) \end{eqnarray*}$

Somit ist die zweite Annahme falsch und es gilt:

$\begin{eqnarray*} A = B \Rightarrow \mathcal P(A)=\mathcal P(B) \end{eqnarray*}$

und durch den vorigen Beweis auch:

$\begin{eqnarray*} A = B \Longleftrightarrow \mathcal P(A)=\mathcal P(B) \end{eqnarray*}$

Mir erscheint das logisch und ich bin ganz zufrieden, so weit gekommen zu sein (wenn man bedenkt, dass es ein Uhr nachts ist Schläfer

). Ich hoffe nun, dass es auch andere nachvollziehen können. Ich gehe mal davon aus, dass ich es mir etwas umständlicher gemacht habe als notwendig ist oder irgendwo einen Schritt vergessen habe. Könnte mir jemand ein Beispiel geben, wie es einfacher zu formulieren geht, falls das geht. Insbesondere überlege ich, ob es notwendig ist, bei der ersten Annahme die Nicht-Elemente und die Nicht-Teilmengen mit einzubringen. Ich habe es zwar nun erstmal gemacht, bin mir aber nicht sicher, ob der Teil bereits durch die jeweils davorstehende Bedingung mit eingeschlossen wird und man ihn somit auch weglassen könnte. Da möchte ich ebenfalls um Hilfe bitten.

Vielen Dank
Skruwel

01.11.2009, 09:25

system-agent

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Tut mir leid, ich verstehe das nicht. Für was schreibst du da diese ganzen komischen Mengen hin? Welche Beziehungen sollen unter dieses Mengen gelten?
In deiner zweiten Annahme kann schon etwas im Schluss nicht stimmen, denn du willst ja die Implikation $\begin{eqnarray*} \mathcal P(A)=\mathcal P(B)\Rightarrow A=B \end{eqnarray*}$ zeigen.

Wie gesagt, die eine Richtung ist trivial:
Sei $\begin{eqnarray*} A=B \end{eqnarray*}$ . Dann ist jede Teilmenge von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ auch eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und es folgt $\begin{eqnarray*} \mathcal P(A)\subset\mathcal P(B) \end{eqnarray*}$ . Umgekehrt ist auch jede Teilmenge von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ eine von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , also folgt $\begin{eqnarray*} \mathcal P(B)\subset\mathcal P(A) \end{eqnarray*}$ .
Zusammen folgt $\begin{eqnarray*} \mathcal P(A)=\mathcal P(B) \end{eqnarray*}$ .

Weiter:
Seien $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ derart, dass $\begin{eqnarray*} \mathcal P(A)=\mathcal P(B) \end{eqnarray*}$ . Angenommen, $\begin{eqnarray*} A\neq B \end{eqnarray*}$ . Dann ist zb. $\begin{eqnarray*} A\subset B \end{eqnarray*}$ und es gibt ein $\begin{eqnarray*} b\in B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b\notin A \end{eqnarray*}$ . Natürich gibt dieses $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ auch Anlass zu einer Teilmenge $\begin{eqnarray*} \{b\}\in\mathcal P(B) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} b\notin A \end{eqnarray*}$ ist auch $\begin{eqnarray*} \{b\} \end{eqnarray*}$ nicht in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ enthalten, also $\begin{eqnarray*} \{b\}\notin\mathcal P(A) \end{eqnarray*}$ .
Also folgt $\begin{eqnarray*} \mathcal P(A)\neq\mathcal P(B) \end{eqnarray*}$ , was ein Widerspruch zur Annahme ist.

01.11.2009, 13:02

Mystic

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@Skruwel

Ja, der erste Teil deines "Beweises" ist wahrlich rekordverdächtig, was Umständlichkeit und Unverständlichkeit betrifft, und auch ich blick da jetzt in keinster Weise durch... verwirrt

Aber von deinem zweitem Teil ist "mutatis mutandis" einiges brauchbar und man sieht da wenigstens die richtige Beweisidee "durchschimmern"...

Ich hab da mal, damit du das besser sieht, nachfolgend zu diesem Beweisteil ein paar Anmerkungen gemacht...

Zweite Annahme: $\begin{eqnarray*} A\neq B \land \mathcal P(A)=\mathcal P(B) \end{eqnarray*}$ RichtigAngenommen es gilt $\begin{eqnarray*} \mathcal P(A)=\mathcal P(B) \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} A\neq B \ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \{x\quad:\quad (x\in A \land x\notin B) \lor (x\notin A \land x\in B)\} \end{eqnarray*}$ Richtig: $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists x\quad:\quad (x\in A \land x\notin B) \lor (x\notin A \land x\in B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \{x\quad:\quad (x\in \mathcal P(A) \land x\notin \mathcal P(B)) \lor (x\in \mathcal P(A) \land x\notin \mathcal P(B))\} \end{eqnarray*}$ Richtig: $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists x\quad:\quad (\{x\}\in \mathcal P(A) \land \{x\}\notin \mathcal P(B)) \lor (\{x\}\in \mathcal P(A) \land \{x\}\notin \mathcal P(B)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mathcal P(A)\neq \mathcal P(B) \end{eqnarray*}$ Korrekt!

Somit ist die zweite Annahme ( Richtig die Annahme $\begin{eqnarray*} A \not = B \end{eqnarray*}$ ) falsch und es gilt:

$\begin{eqnarray*} A = B \Rightarrow \mathcal P(A)=\mathcal P(B) \end{eqnarray*}$ Richtig: $\begin{eqnarray*} \mathcal P(A)=\mathcal P(B) \Rightarrow A = B \end{eqnarray*}$

@Alle

Wie ich allerdings schon in einem früheren Posting schon bemerkt habe, versteh ich nicht, warum man nicht überhaupt aus diesem Beweisteil den folgenden "Einzeiler" macht

$\begin{eqnarray*} \mathcal P(A)=\mathcal P(B) \Rightarrow A= \bigcup_{X \in \mathcal P(A)} X =\bigcup_{X \in \mathcal P(B)} X =B \end{eqnarray*}$

und statt dessen über gewisse einelementige Teilmengen argumentiert, was jetzt natürlich nicht falsch, aber doch um einiges umständlicher ist... verwirrt

01.11.2009, 13:51

system-agent

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@Mystic
Mit der etwas längeren Methode kann man ein bischen mehr "Beweise schreiben" üben, das ist alles Augenzwinkern

.
Aber dein Einzeiler finde ich auch besser Freude

01.11.2009, 13:52

Skruwel

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Sry, aber es war zum einen schon spät und zum anderen war das der erste Versuch, eigenständig einen Beweis zu schreiben. Ups

Vielleicht hätte ich vorher üben sollen, nur hätte ich dann niemanden gehabt, der es kontrolliert. In der Vorlesung hatten wir einen Beweis gesehen, zu dem gesagt wurde, der wäre interessant für die Hausaufgaben, weil da auch ein Beweis verlangt wird. Hier hatte ich versucht, meinen Beweis irgendwie dem anderen Beweis ähneln zu lassen.

Erste Annahme: $\begin{eqnarray*} A = B \end{eqnarray*}$ A und B sollen Identisch sein

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \{x\quad:\quad (x\in A \land x\in B) \lor (x\notin A \land x\notin B)\} \end{eqnarray*}$ Jedes x ist entweder Element von A und B oder ist Element von keinem der beiden

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \{X\quad:\quad (X\subseteq A \cap X\subseteq B) \cup (X\nsubseteq A \cap X\nsubseteq B)\} \end{eqnarray*}$ Jede Menge X ist entweder eine Teilmenge von A und B oder ist keine Teilmenge von beidem

$\begin{eqnarray*} /mathcal P(X) := \{U | U\subseteq X\} \end{eqnarray*}$ (Definition der Potenzmenge (http://de.wikipedia.org/wiki/Potenzmenge))
Die folgende Umformung sollte dahin führen, dass ich aus dem was ich habe, etwas gewinne, was der Definition der Potenzmege ähnelt.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (\{X\quad:\quad X\subseteq A\} \cap \{X\quad:\quad X\subseteq B\}) \cup (\{X\quad:\quad X\nsubseteq A\} \cap \{X\quad:\quad X\nsubseteq B)\} \end{eqnarray*}$ Jede Menge X ist entweder eine Teilmenge von A ( $\begin{eqnarray*} \{X\quad:\quad X\subseteq A\} := \mathcal P(A) \end{eqnarray*}$ ) und eine Teilmenge von B ( $\begin{eqnarray*} \{X\quad:\quad X\subseteq B\} := \mathcal P(B) \end{eqnarray*}$ ) oder keine Teilmenge von deinem der beiden.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \{x\quad:\quad (x\in \mathcal P(A) \cap x\in \mathcal P(B)) \cup (x\notin \mathcal P(A) \cap x\notin \mathcal P(B))\} \end{eqnarray*}$ Jedes x ist Element von P(A) und P(B) oder ist ein Element von keinem der beiden

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mathcal P(A) = \mathcal P(B) \land \neg\mathcal P(A) = \neg\mathcal P(B) \end{eqnarray*}$ Wenn ein x, das in dem einen liegt auch in dem anderen liegt und eines, das nicht in dem einen liegt, nicht in dem anderen liegt, müssen P(A) und P(B) gleich sein (ebenso wie die Negationen der beiden, warum auch immer ich die gestern Nacht aufgeführt habe)

Womit bewiesen ist:

$\begin{eqnarray*} A = B \Rightarrow \mathcal P(A) = \mathcal P(B) \end{eqnarray*}$ Das dürfte der einzig verständliche schritt sein, deshalb spare ich mir hier Erklärungen

Zitat:

Original von Mystic
[...]

@Alle

Wie ich allerdings schon in einem früheren Posting schon bemerkt habe, versteh ich nicht, warum man nicht überhaupt aus diesem Beweisteil den folgenden "Einzeiler" macht

$\begin{eqnarray*} \mathcal P(A)=\mathcal P(B) \Rightarrow A= \bigcup_{X \in \mathcal P(A)} X =\bigcup_{X \in \mathcal P(B)} X =B \end{eqnarray*}$

und statt dessen über gewisse einelementige Teilmengen argumentiert, was jetzt natürlich nicht falsch, aber doch um einiges umständlicher ist... verwirrt

Der Beweis, den du jetzt angeführt hast, erscheint mir nun nachvollziehbar. Aber ich wäre nicht anhand deiner früheren Formel darauf gekommen, ihn so zu schreiben. Es wäre mir zu kurz erschienen, als dass es stimmen könnte und so hab ich es nicht in meine Überlegungen eingeschlossen. Hinzu kommt, dass ich bis jetzt nur Beweise gesehen habe, in denen irgendetwas mit genannten einelementigen bewiesen wurde und ich nicht wusste, dass es auch anders geht.

01.11.2009, 15:04

Skruwel

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Zitat:

Original von system-agent
[...]
Wie gesagt, die eine Richtung ist trivial:
Sei $\begin{eqnarray*} A=B \end{eqnarray*}$ . Dann ist jede Teilmenge von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ auch eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und es folgt $\begin{eqnarray*} \mathcal P(A)\subset\mathcal P(B) \end{eqnarray*}$ . Umgekehrt ist auch jede Teilmenge von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ eine von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , also folgt $\begin{eqnarray*} \mathcal P(B)\subset\mathcal P(A) \end{eqnarray*}$ .
Zusammen folgt $\begin{eqnarray*} \mathcal P(A)=\mathcal P(B) \end{eqnarray*}$ .

Wieso: $\begin{eqnarray*} \mathcal P(A)\subset\mathcal P(B) \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \mathcal P(A)\subseteq\mathcal P(B) \end{eqnarray*}$ . Wäre P(A) eine echte Teilmenge von P(B), müsste P(A) doch um mindestens ein Element kleiner sein, als P(B), womit Gleichheit ausgeschlossen wäre. Bei $\begin{eqnarray*} \mathcal P(B)\subset\mathcal P(A) \end{eqnarray*}$ hab das gleiche Problem.

2. Versuch, einen Beweis zu schrieben:
Sei $\begin{eqnarray*} A=B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow X \subseteq A \rightarrow X \subseteq B, X \subseteq B \rightarrow X \subseteq A \end{eqnarray*}$ Ist dieser Schritt so richtig formuliert? Hier soll diese Zeile stehen: jede Teilmenge von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist auch eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und jede Teilmenge von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist auch eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . Alternativ würde ich es so schreiben, bin mir dabei aber genauso unsicher:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow A \subseteq B \land B \subseteq A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mathcal P(A)\subseteq\mathcal P(B) \land \mathcal P(B)\subseteq\mathcal P(A) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mathcal P(A)=\mathcal P(B) \end{eqnarray*}$

Somit: $\begin{eqnarray*} A = B\Rightarrow \mathcal P(A)=\mathcal P(B) \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} \mathcal P(A)=\mathcal P(B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow A= \bigcup_{X \in \mathcal P(A)} X \quad=\quad\bigcup_{X \in \mathcal P(B)} X =B \end{eqnarray*}$

Somit: $\begin{eqnarray*} \mathcal P(A)=\mathcal P(B) \Rightarrow A=B \end{eqnarray*}$

Somit: $\begin{eqnarray*} A = B\Longleftrightarrow \mathcal P(A)=\mathcal P(B) \end{eqnarray*}$

01.11.2009, 17:22

system-agent

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Zitat:

Original von Skruwel
Wieso: $\begin{eqnarray*} \mathcal P(A)\subset\mathcal P(B) \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \mathcal P(A)\subseteq\mathcal P(B) \end{eqnarray*}$ .

Das ist nur eine Schreibweise Augenzwinkern

. In manchen Ländern schreibt man so wie du, in manchen so wie ich. Beidesmal bedeutet es einfach "Teilmenge von" und nicht "echte Teilmenge von".

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