Satz von Taylor

30.10.2009, 19:56

Dalice66

Satz von Taylor

Moin Leute,
ich soll folgende Aufgabe lösen:

Entwickeln Sie die Funktion

$\begin{eqnarray*} f_{(t)}=A*e^{-B*(t-t_0)^2} \end{eqnarray*}$

um t=t0 bis zur zweiten Ordnung

Man soll wohl mit Produktregel arbeiten...

So, mein Ansatz war jetzt:

$\begin{eqnarray*} f_t=f_0+f'_0*(t-0)+\frac{1}{2} f''_0*(t-0)^2 \end{eqnarray*}$

Dann erhalte ich mit Anwendung der Produktregel:

$\begin{eqnarray*} f_t=1*e^{-B(t-t0)^2}+A*e^{-B(t-t0)^2}*(t-0) \end{eqnarray*}$

+

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*0*e^{-B(t-t0)^2}+A*e^{-B(t-t0)^2}*(t-0)^2 \end{eqnarray*}$ ,

oder so verwirrt

Ich bin mir auch nicht sicher, ob ich das A überhaupt zu 1 und schließlich in f'' zu 0 differenziren kann/darf.

Super, ich habe zu spät gesehen, dass ich mich noch im Schulbereich befinde. Ich denke, das gehört in den Hochschulbereich...

Forum Kloppe

30.10.2009, 20:00

Cel

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Was ist A? Eine Konstante? Dann bleibt es beim Ableiten einfach nur stehen. So richtig verstehe ich noch nicht, was du beim Ableiten gemacht hast ... Und was ist jetzt der Entwicklungsmittelpunkt? 0 oder $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ ?

30.10.2009, 20:16

Dalice66

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Joo,
ich muss ehrlich sagen, ich verstehe die ganze Aufgabe nicht...Was ich als Aufgabenstellung schrieb, ist richtig. Davon ausgehend, soll ich den Kram machen. Es kann also durchaus sein, dass meine Schreibweise in der Aufgabe/Ansatz selbst schon falsch ist, da ich nicht weiß, wie so eine Taylor-Entwicklung aufgebaut ist.

Ob A eine Konstante ist, geht aus der Aufgabe nicht hervor. Da steht nur ein großes "A"

30.10.2009, 20:31

Cel

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RE: Satz von Taylor
Die Funktion hängt von t und $\begin{eqnarray*} t_0 \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ab, wobei t die Funktionsvariable ist und $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ fest ist. Also schreiben wir f mal lieber so:

$\begin{eqnarray*} f_{(t_0)}(t)=A*e^{-B*(t-t_0)^2} \end{eqnarray*}$

Der richtige Ansatz wäre dann:

$\begin{eqnarray*} f_{(t_0)}^{(2)}(t) = f_{(t_o)}(t) + f_{(t_o)}'(t) \cdot (t - t_0) + \frac{1}{2}f_{(t_o)}''(t) \cdot (t - t_0)^2 \end{eqnarray*}$

Nimm mal an, dass A und B konstant sind, und bilde die erste und zweite Ableitung.

Die zwei beim f links soll übrigens nur andeuten, dass es sich um das 2te Taylor - Polynom handelt ... bei den ganzen Indizes schwierig unterzubringen ... smile

30.10.2009, 20:33

Bakatan

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Der Satz von Taylor ist allgemein:
$\begin{eqnarray*} f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)²+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) \end{eqnarray*}$
Mit $\begin{eqnarray*} R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\Theta)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \end{eqnarray*}$ mit einem geeigneten $\begin{eqnarray*} \Theta \end{eqnarray*}$ zwischen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} \Theta=x_0+\vartheta (x-x_0);~0<\vartheta<1 \end{eqnarray*}$

Wenn das Restglied für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ gegen Null geht, kann man die Funktion als unendliche Summe darstellen. Was von dir verlangt ist ist aber wohl nur das Taylorpolynom zweiter Ordnung und du musst nicht einmal zeigen, dass das Restglied gegen Null läuft.
Das schwerste ist folglich das reine Ableiten. Das passt aber gerade super ins Schulforum Augenzwinkern

Und ich bin jetzt Battlestar Galactica schauen Big Laugh

Denke mal ChrisB kann eh super helfen. Ich bin ja nur kurz dazwischen geplatzt.

30.10.2009, 21:07

kiste

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RE: Satz von Taylor

Zitat:

Original von Dalice66
Super, ich habe zu spät gesehen, dass ich mich noch im Schulbereich befinde. Ich denke, das gehört in den Hochschulbereich...

Forum Kloppe

Bitte sehr Wink

31.10.2009, 17:28

Dalice66

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So,
wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, müsste folgendes rauskommen:

Meine Überlegungen sind: 1) Eine abgeleitete e-Funktion bleibt immer gleich
2) A ist konstant

$\begin{eqnarray*} f_{(t)}=A*e^{-B(t-t0)^2}+A*e^{-B(t-t0)^2}*(t-to)+\frac{A*e^{-B(t-t0)^2}}{2!}*(t-to)^2 \end{eqnarray*}$

Richtig?

31.10.2009, 17:31

Bakatan

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Jetzt musst du mit deinen Bezeichnungen $\begin{eqnarray*} t_0,~x_0 \end{eqnarray*}$ auspassen.
edit: Was ich damit meine: $\begin{eqnarray*} to,~t0 \end{eqnarray*}$ sind nicht besonders praktisch.
Zusätzlich dringlichst die Kettenregel beachten!

31.10.2009, 18:22

Dalice66

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Moin,
ich bin nicht sicher, was du meinst. Ist die Aufgabe denn jetzt nicht gelöst?

31.10.2009, 18:53

Cel

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Nein, die Ableitungen sind falsch. Die e - Funktion bleibt beim Ableiten so stehen, ja, aber es gibt noch eine innere Ableitung, die fehlt bei dir.

31.10.2009, 18:58

Bakatan

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$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}e^{f(x)}=\frac{d}{dx}\exp(f(x))=e^{f(x)}\cdot \frac{d}{dx}f(x) \end{eqnarray*}$
Oder mit anderen Worten: Kettenregel!
Beispiel: $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}e^{x²}=e^{x²}\cdot 2x \end{eqnarray*}$

31.10.2009, 22:18

Dalice66

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Ja geil,
das war der entscheidende Hinweis. Ich wusste nicht, dass die Potenz als innere Ableitung drangehauen wird. Dann müsste es jetzt so heißen:

$\begin{eqnarray*} f_{(t)}=A*e^{-B(t-t0)^2}*-B2(t-t0) \end{eqnarray*}$

+

$\begin{eqnarray*} +A*e^{-B(t-t0)^2}*-B(t-t0)(t-t0) \end{eqnarray*}$

+

$\begin{eqnarray*} \frac{A*e^{-B(t-t0)^2}}{2!}*-B(...)(t-t0)^2 \end{eqnarray*}$

Bei dem letzten Term bin ich mir nicht sicher, was ich mit dem "offenen" t-t0 machen soll, da bei der zweiten Ableitung nichts mehr vor der Klammer steht. Fliegt das denn weg? Falls nicht, steht da nach Zusammenfassung ...-B(t-t0)³

01.11.2009, 00:59

Bakatan

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$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}(Ae^{-B(t-t_0)²})=Ae^{-B(t-t_0)²}\cdot\frac{d}{dx}(-B(t-t_0)²)=Ae^{-B(t-t_0)²}\cdot (-2B(t-t_0)) \end{eqnarray*}$
Bitte mit Klammern und der Vorfaktor auch wirklich vorne.
Wenn du diesen Term jedoch erneut ableitest, schätze ich führt um die Produktregel wenig herum.
Wo in deinem zweiten Term die Zwei hin verschwunden ist verstehe ich nicht ganz. Selbst wenn du einfach nur den ersten Term erneut differenzierst, müsste da irgendwo ein B² und ähnliches auftauchen.
Falls es durch Vereinfachung des gesamten Ergebnisses entsteht ok, denn ich habe es nicht explizit durchgerechnet. Das bezweifle ich aber, wohin sollte das B² denn gewandert sein Augenzwinkern

Bedenke außerdem die Form, Taylor beginnt mit $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ . Du solltest erst einzeln die Ableitungen aufschreiben und dann zusammenbauen.

01.11.2009, 11:46

Dalice66

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Moin,
ja, du hast Recht. Der Term darf lt. Definition noch nicht abgeleitet werden. So...

$\begin{eqnarray*} f{(t)}=Ae^{-B(t-t_0)^2}+Ae^{-B(t-t_0)^2}*(-2B(t-t_0)^2... \end{eqnarray*}$ ;

$\begin{eqnarray*} (-2B(t-t_0)^2 \end{eqnarray*}$

Kommt wegen

$\begin{eqnarray*} ...(-2B(t-t_0)*(t-t_0)... \end{eqnarray*}$

zustande

Insgesamt müsste dann

$\begin{eqnarray*} f{(t)}=Ae^{-B(t-t_0)^2}+Ae^{-B(t-t_0)^2}*(-2B(t-t_0)^2+\frac{1}{2}*Ae^{-B(t-t_0)^2}*(-2B(t-t_0)^2+Ae^{-B(t-t_0)^2}*(-4B(t-t_0) \end{eqnarray*}$

das Ergebnis sein...

01.11.2009, 14:26

Bakatan

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Ein paar Anmerkungen:
Rechne bitte zuerst die Ableitungen einzeln und baue sie dann erst ein. Es ist im Moment relativ schwer zu erkennen, was woher kommt.

Das Taylorpolynom beginnt mit $\begin{eqnarray*} f(t_0)+f'(t_0)(t-t_0)... \end{eqnarray*}$ ( Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ )
Es ist aber sicherlich ( zumindest wenn meine Ableitung stimmt ) $\begin{eqnarray*} f'(t_0)=Ae^{-B(t_0-t_0)²}\cdot (-2B(t_0-t_0))=0 \end{eqnarray*}$

Bei dir kommt aber plötzlich ein $\begin{eqnarray*} (t-t_0)² \end{eqnarray*}$ im zweiten Term vor.
Wenn du schreibst $\begin{eqnarray*} f(t)=Ae^{-B(t-t_0)²}+... \end{eqnarray*}$ ist bereits irgendetwas komisch, da das die Ursprüngliche Funktion ist plus irgendwas.

01.11.2009, 15:37

Dalice66

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Hi Bakatan,
das ist das Problem. Ich kann mir nicht vorstellen, was man mit dem Satz von Taylor analytisch überhaupt anstellt. t-t0 sieht für mich wie eine Annäherung an irgendwas aus, zumal ich, wie du schon sehen kannst, Probleme mit der Schreibweise habe. Ich denke, ich werde erstmal ein Mathebuch in Angriff nehmen, um entsprechende Ergebnisse vorzubringen. Also, die Antwort dauert etwas...

verwirrt

01.11.2009, 17:17

Bakatan

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Nehmen wir mal eine Gerade. Dann ist offensichtlich
$\begin{eqnarray*} f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) \end{eqnarray*}$ ( auch ohne den Satz von Taylor klar ).
Das gilt ( siehe Ursprünge der Differentialrechnung ) auch für jede beliebige Funktion annähernd. Es wird genauer, je näher man an den Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ heran geht. Denn in kleiner Umgebung hat sich die Steigung noch nicht viel geändert, es ist annähernd eine Gerade.

Anmerkung: Eine äquivalente Formulierung zur Differenzierbarkeit ist auch:
Es gibt ein a, so dass:
$\begin{eqnarray*} f(x)=f(x_0)+a(x-x_0)+R(x,x_0)~\text{mit }\lim_{x\to x_0}\frac{R(x,x_0)}{x-x_0}=0 \end{eqnarray*}$
In Worten bedeutet das eben Obiges, die je näher man an den Punkt herankommt, desto besser ist diese Näherung.

Der Satz von Taylor ist jetzt prinzipiell ( so stelle ich ihn mir zumindest vor, ob das der allgemeine Konsens ist weiss ich nicht ) eine Verbesserung dieser Annäherung, indem man auf gleiche Art und Weise die Änderung der Ableitung mit in Betracht zieht ( f''(x) ) und wieder deren Änderung...
Diese Methode funktioniert eben bei vielen Funktionen, man kann eine Reihenentwicklung machen ( geht auch nicht bei allen! ).
Woher Vorstellungsmäßig die Fakultäten im Nenner und Potenzen der (x-x0) bei späteren Termen kommen ist mir nicht ganz klar, eventuell Gewichtung, da sich spätere auf alle früheren auswirken.
Wichtig ist dann nur noch: Man kann eben beweisen, dass Taylorentwicklung funktioniert. Und daraus folgt sofort, dass bei im unendlichen verschwindenden Restglied eine Reihenentwicklung möglich ist.

Soweit mein Verständnis der Sache, vielleicht hilft es ja.

edit: Zu den Fakultäten im Nenner und den Potenzen von (x-x_0) siehe reelle Potenzreihen:
Bei jeder im Intervall $\begin{eqnarray*} ]x_0-r,x_0+r[ \end{eqnarray*}$ konvergenten Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n \end{eqnarray*}$ erhält man die Koeffizienten durch $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} \end{eqnarray*}$
Mit anderen Worten ist jede für |x-x0|<r konvergente Potenzreihe mit reellen Koeffizienten eine Taylorreihe.

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