Beweis mit skalarprodukt 2

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guile Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis mit skalarprodukt 2
Ich weiß nicht wie ich mit dieser Aufgabe anfangen soll, kann mir jemand helfen:

Errichtet man über den vier Seiten eines Parallelogramms je ein Quadrat, so bilden deren Mittelpunkte die Ecken eines Quadrats.
Beweisen Sie diesen Satz, indem Sie zeigen und

Vielen Dank
Alex-Peter Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis mit skalarprodukt 2
Dass das Resultat ein Quadrat ist, sollst du mathematisch beweisen
pupsy Auf diesen Beitrag antworten »

ja und wie soll man das jetzt beweisen
pupsy Auf diesen Beitrag antworten »

also ich hab versucht die seiten des parallelogramms mit zB a, b vektoren benannt und zB von den äußeren quadraten die c und d...
dann versuche ich mit den vektoren die seiten vom inneren quadrat zu bestimmen doch da weiß ich nicht wie das gehen soll :S
Alex-Peter Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis mit skalarprodukt 2
Eine kleine Hilfe:
Dass es ein Quadrat sein muss ist doch logisch, denn vom Mittelpunkt des kleinen Quadrates zum Mittelpunkt des großen Quadrates ist es dieselbe Länge als vom Mittelpunkt des großen zum nächsten Mittelpunkt des kleinen Quadrates.
Es sind 4 mal dieselben Längen und kann somit nur ein Quadrat sein.
Nach diesem Gesichtspunkt musst du deinen Beweis aufbauen.
pupsy Auf diesen Beitrag antworten »

okii das ist einleutend aber dazu müsste man ja genau diese seiten durch andere vetoren ausdrücken aber das gelingt mir nicht :S
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das Parallelogramm werde von den Vektoren aufgespannt. Eine Drehung im Uhrzeigersinn um 90° führt es über in ein Parallelogramm, das von den Vektoren aufgespannt wird (siehe Zeichnung). Überlege, warum gemäß Konstruktion die folgenden Beziehungen gelten:





Durch bloße Rechnungen mit den Beziehungen in kann man noch



[attach]11736[/attach]

herleiten. Jetzt betrachte die Vektoren der Zeichnung, die die Quadratmitten verbinden. Drücke und mit Hilfe von aus (siehe gestrichelte Linien). Berechne dann (Fleißarbeit). Vereinfache und verwende . Vorsicht! Vorzeichen!

Das ist wieder einmal eine Vektorenaufgabe, die elementargeometrisch vermutlich viel einfacher zu lösen ist. Man denke an eine Punktspiegelung am Diagonalenschnittpunkt des Parallelogramms.
Agoyres Auf diesen Beitrag antworten »

Hey deine antwort war gut aber ich hätte da auch noch ne frage und zwar hab ich den Beweis auch so durch geführt dass ich die Vektoren y und x anders ausgedrückt habe nämlich durch a b c und d (c ist in deiner zeichnung u und d entspricht deinem -v)
das prob ist bei mir nun dass meine gleichung am ende net aufgeht dazu schick ich mal ein bild von meiner rechnung:

[attach]11737[/attach]

Edit (mY+): Zum Betrachten des Bildes (Vergrößern) auf die Vorschau klicken!
Agoyres Auf diesen Beitrag antworten »

mist ist verpixelt warte ich geb mal einne besseren link:

Edit mY: NIX ist verpixelt! Klick mal auf die Vorschau! Link zu externer Uploadseite wurde entfernt.

bei mir kommt am schluss ein plus raus und das ist net gut aber wenn ich ein minus rauskriegen würde dann würde die aufgabe gelöst sein
aber ich krieg kein minus raus
kucks dir bitte mal an
Agoyres Auf diesen Beitrag antworten »

ach s warte mein ergebnis stimmt doch ^^
Sry für die posts
pupsy Auf diesen Beitrag antworten »

hab alles befolgt Big Laugh Big Laugh Big Laugh vielen vielen dank^^
also ist jetzt x*y=0 und |x|=|y|
dankeschööööööönnn
Agoyres Auf diesen Beitrag antworten »

hey ich hab aber mal ne frage ich hab jetzt die 90 grad anch gewiesen un wie soll ich denn aber das mit der länge nach weisen
wie hast du es gemacht pupsy?
Agoyres Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab es mit dem pythagoras versucht aber das ist doch zu aufwendig kann mir da einer auf fie sprünge helfen
Agoyres Auf diesen Beitrag antworten »

also ich saß jetzt noch ein weilchen dran und der ansatz den ich für die länge habeb ist zu lange und zu viel zu rechnen das kann net sein
also hilfe ist weiter gesucht
ich danke im voraus
pupsy Auf diesen Beitrag antworten »

ganz einfach |y²|=|x²| beweisen..also einfach ausrechnen^^
Agoyres Auf diesen Beitrag antworten »

aber das ist doch heftig
Wenn du x un y aus tauscht mit den zahlen dann ist es doch pervers
oder muss ich da nichts austauschen?
kann ich bei x un y bleiben?
Agoyres Auf diesen Beitrag antworten »

also ich meine dass ich x un y mit den andren vektoren austauschen soll
oder wie meinst du das mit ausrechnen
Agoyres Auf diesen Beitrag antworten »

wäre ne fette sache wenn du mir da noch ein kleinen tip geben könntest ^^
steh nämlich voll auf der leitung
danke noch mal für eure hilfe
pupsy Auf diesen Beitrag antworten »

hmm also mein x=1/2(c+a+b-d) und y=1/2(c-a+b+d)
also zu der abb aus dem LS buch mathe lk 13 falls du die aufgabe darauß hast..
dann rechne ich die beiden klammern mal dieht vllt schlimm aus ist aber gar nichts o schwer wenn man alle bedingungen was dann null ist rechnet...
Agoyres Auf diesen Beitrag antworten »

jo so hab ich es auch verstnadsen aber denn du dann beide klammer quadrieren musst ist es doch heftig oder?
ich hab es mir auch so vorgestell dass ich die vektoren x und y durch diesne klammer ausdruck ersetze aber das wäre aus meiner sich viel zu rechnen
und was meisnt du dass du die beiden klammer mal nimmst ?
also ich hab beide zum quadrat genommen
also hier geht es doch um die länge oder ?
denn was du gerade sagst beztieht sich auf die senkrecht eigenschaft
die hab ich schon nach gewiesen
ich will wissen wie ich die gleiche länge nachweisen soll
Agoyres Auf diesen Beitrag antworten »

es tut mir auch leid dass ich dich nerve aber ich möchte es halt verstehen ^^
ich hoffe du verzeihst mir meine hartnäckigkeit^^
pupsy Auf diesen Beitrag antworten »

also rechne einafch auch wenn es viel ist
(c+a+b-d)*(c+a+b-d)=....was da raus kommt, kommt auch bei
(c-a+b+d)*(c-a+b+d) raus und schon hast du bewiesen dass y und x gleich lang sind^^
Agoyres Auf diesen Beitrag antworten »

jop so hab ich mir auch vorgestellt un wenn es keinen schnelleren weg gibt ...
naja danke
mathe ist leider in solchen punkten net spaßig^^
pupsy Auf diesen Beitrag antworten »

jepp dass kannst du aber laut sagen^^
Agoyres Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt hab ic hden ganzen schrott auf gelöst und da kommt nichts gescheites raus
ich werde noch krank von dieser aufgabe normaler weise sind die beweise net so komplex aber irgendwie hat diese blöde länge mich im griff
oh mann ich versuch noch paar andere ansätze
vll find ich einne der funkt^^
pupsy Auf diesen Beitrag antworten »

also bei mir ist am anfang auch einiges übrig geblieben bis ich dann noch noch paar eigenschaften die gleich null sind da gefunden habe..also in der abbildung die hier ist sind ja auch die jeweiligen diagonalen der parallelogramms senkrecht aufeinander..also wenn du die dann multiplizierst und dann auflöst hast du noch paar sachen die sich dann bei x*y wegstreichen lassen :S ist schwer so zu erklären
Agoyres Auf diesen Beitrag antworten »

ich kann dir ja mal meine icq nummer geben dann kansnt du es mir erklären^^
aber nur wenn du mich net satt hast^^
kann es nachvollziehn '
hab einen nervenden charkter Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Was du pupsy in immer neuen Anfragen aus der Nase ziehen willst, steht hier längst detailliert und mit Zeichnung aufgeschrieben. Du mußt es einfach nur einmal tun. Aufgaben lösen sich schließlich nicht von selber. Daß meine Bezeichnungen leicht anders als die von pupsy sind, sollte nicht das Problem sein.
Agoyres Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst es net miss verstehen ich hab ja nur gebeten.
wenn pupsy net will dann net
Ich hab mir auch deine zeicnung angesehen und gut verstandne
mich stören aber ein paar verständnis sachen
ich kann es auch lassen
du sollst aber schon wissen dass ich mir mühe gebe es ist ja net so dass ich hier nichts mache
Agoyres Auf diesen Beitrag antworten »

bei mir kommt am schluss nämlcih anchdem ich auf löse (also laut pupsys vektoren )
folgendes raus ab-cd=0
Agoyres Auf diesen Beitrag antworten »

so ich hab jetzt das rätsel gelöst ^^
danke noch mal für alles
an dich pupsy für deine starken nerven und an leopold der den denkanstoß gesetzt hatAugenzwinkern
pupsy Auf diesen Beitrag antworten »

upsyyy sorry hab das erst grad gelsen..sonst hätte ich natürlich noch weiter geholfen:P
ach nerven?? nene ich versteh das zu gut..hab ja selber aufgaben wo ich viel nerve ^^ ich freue mich doch wenn ich mal dazu komme zu helfen=D( ps hab eh kein icq)
Agoyres Auf diesen Beitrag antworten »

sag mal hast du die aufgabe komplett durchgerechnet ?
wenn ja was steht denn bei dir am ende dar?
ich bin mir net sicher ob mein endergebnis nun stimmt
Agoyres Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab für einen kurzen moment gedacht ich hab die lösung habe sie aber net
so ein mist
ich versteh es einfah net
ich habe auch die methode von dir genommen und ie klammer aufgelöst
1/2(a+b+c-d) *1/2(a+b+c-d)=1/2(-a+b+c+d)*1/2(-a+b+c+d)
das entspricht ja dem selben als häaate ich den vektor x und y quadriert
damit hätte ich ja ihre länge
mein problem wäre noch dabei nach zu voll ziehn warum bei nach dem wir das ganze quadriert haben immer noch unsere bedingunge zählen
soweit ic hweiß ergibt sich ja aus dem skalar produkt nur zahlen
pupsy Auf diesen Beitrag antworten »

also ganz am ende kommt raus wenn man auch umgeformt hat also ersetzt usw
1/4(c²+4bc+b²+a²+d²)
hmm so viele fragen so schwer zu erklären hier :S
also wenn man das wirklich scvhrittweise an der abbildung zeigen und erklären könnte wäre es echt einfacher denke ich mir :S
Agoyres Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm also ich hab auch die selbe klammer aufgelöst
nämlich die von den vektoren also raktisch (1/2(a+b+c-d))^2 = (1/2(-a+b+c+d))^2
so un da soll tatsächlich 1/4(c²+4bc+b²+a²+d²) rauskommen ?
ich hab nur ab-cd raus
dabei hab ich beim auflösen die eigenschaften beachtet die leopld gegebn hat
also dass ich zum beispiel alle dabei rauskommenden vektoren wie ca oder bd zu null gemacht habe (sind ja senkrecht)
un bei mir streichen sich auch die quadrate ra denn bei mir steht auf einer seite dann a^2+b^2+c^2+d^2 un auf der andren
kann es sien dass ich die klammern normal auflösen darf
denn mein ergebnis weicht ja stark von deinem ab bei dir steht ja auf beiden seiten dieser ausdruck nämlich 1/4(c²+4bc+b²+a²+d²)
dann würde sich das ja weg heben un man hätte es richtig aber ich komm net dahinter wo der fehler ist
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich beziehe mich auf die Bezeichnungen meiner Figur.

1. Da das Parallelogramm um 90° gedreht wurde, steht auf , auf und die Diagonale auf der Diagonalen senkrecht. Es folgen die Beziehungen .

2. Multipliziert man die dritte dieser Beziehungen aus und verwendet man die ersten beiden, so erhält man die Formel in .

3. Bei der Drehung haben sich die Längen der entsprechenden Vektoren nicht geändert. Also sind auch ihre Quadrate gleich geblieben. Das führt zu den Gleichungen in .

4. Die Vektoren und sind Linearkombinationen von , und zwar gilt:



5. Jetzt berechnet man das Skalarprodukt von und :





Die Quadrate heben sich gemäß alle weg. Es folgt mit schließlich:

pupsy Auf diesen Beitrag antworten »

und geschafft Agoyres??
Agoyres Auf diesen Beitrag antworten »

Edit (mY+): Dreifachpost zusammengefügt.

das ist doch der nach weis der orthogonalität
den hab ich doch schon längst
reden wrir an einander vorbei oder kapier ich etwas net
ich will doch die gleiche länge nachweisen
oder ist das schon in dem beweis drin
______________________________________

denn dieser nachweis (den ich schon hab) führt ja nur dazu dass die seiten orthogonal zu ienander stehen aber die länge ist ja noch wichtig
es könnte ja ein rechteck sein
und da hab ich auch mit dem ansatz gearbeitet |x|^2=|y|^2 aber am schluss hebt sich da net alles weg
______________________________________

ich hab es wieder einmal durch gerechnet (und das mit deinen vektoren leopold)
und dabei hab ich dann folgendes gleich gesetzt
(1/2(-a-u+b-v))^2=(1/2(a-u+b+v))^2

Die auflösung were ich mir gerade mal ersparen un schreib gleich was bei mir immer und immer wieder rauskommt
nämlich -1/2vu+1/2ba=1/2vu-1/2ba
un wenn ich das rüber hole dann steht
0=-vu+ba
und diese relation stimmt doch net oder?
zumindest hab ich die net als richtig befunden
und genau da liegt mein prob
Agoyres Auf diesen Beitrag antworten »

also ich glaub die aufgabe ist nach meinen vostellungen nicht lösbar^^
hab sogar aus leopold gleichung (b-u) und (v+a)
substituiert um leichter zu rechnen aber dakommt immer noch das selbe raus nämlich mist
muss ich vll am ende den betrag von beiden nehmen denn dann würde es aufgehen aber wo bleibt die begründung zum betrag?
Andernfalls muss ich einsehen dass due seiten zwar gleich lang sind aber in die andere richtung zeigen
das kann soch net sein eigetlich müsste doch auf beiden seiten das gleiche rauskommen
ach mann ich bin so traurig wegen der aufgabe dass die net zu lösen ist
aber danke noch mal an dich leopold un an dich pupsy Augenzwinkern
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