Mengenlehre - Beweise

31.10.2009, 13:59

estrella28

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Mengenlehre - Beweise

Hallo

Wie führe ich für folgendes einen Beweis durch:
A,B,C sind beliebige Menge:

Betrag von ( A vereinigt B vereingt C)=Betrag von (A) + Betrag von (B) + Betrag (C) - Betrag (A schneidet B) - Betrag von (B schneidet C) - Betrag von (C schneidet A) + Betrag von (A schneidet B schneidet C)

LG
Nicole

31.10.2009, 14:56

estrella28

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RE: Mengenlehre - Beweise
vielleicht ist diese schreibweise besser:

|A u B u C| = |A| + |B| + |C| - |A n B| - |B n C| -|C n B| + |A n B n C |

ich brauche dringend eine idee oder ansatz!!!

31.10.2009, 15:01

kiste

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Hallo,

zeige nunächst einmal dasselbe Resultat aber mit nur 2 Mengen.
Das wäre:
$\begin{eqnarray*} |A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B| \end{eqnarray*}$
Nutze dieses dann 2 mal auf:
$\begin{eqnarray*} |A\cup D| \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} D:=B\cup C \end{eqnarray*}$

31.10.2009, 15:07

estrella28

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hallo

das habe ich schon versucht, aber ich komme nicht auf den letzten term, also

| A n B n C |

31.10.2009, 15:09

kiste

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Dann zeig doch einmal wie weit du bereits gekommen bist(bitte Zwischenschritte nicht auslassen und wenn möglich LaTeX benutzen, zitiere dazu meinen letzten Beitrag)

31.10.2009, 15:15

estrella28

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Zitat:

Original von kiste
Hallo,

zeige nunächst einmal dasselbe Resultat aber mit nur 2 Mengen.
Das wäre:
$\begin{eqnarray*} |A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B| \end{eqnarray*}$
Nutze dieses dann 2 mal auf:
$\begin{eqnarray*} |A\cup D| \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} D:=B\cup C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |A\cup D| = |A \cup (D "ohne" (A \cap D)| = |A| + |D| - |A\cap D| \end{eqnarray*}$

Wie soll ich jetzt weiter machen?

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31.10.2009, 15:25

kiste

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Was dieses "ohne" Zeuch soll weiß ich nicht, aber zumindest vorne und hinten sieht so aus wie ich mir es vorgestellt hab.

Jetzt eben rechts die Definition für D einsetzen und nochmal das ganze benutzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.10.2009, 15:30

estrella28

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Wenn ich das einsetze komme ich auf

$\begin{eqnarray*} |A| + |B| + |C | - | A \cap B | - | B \cap C | - | C \cap A | \end{eqnarray*}$

das "ohne" bedeutet \

31.10.2009, 15:33

kiste

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Das hab ich mir gedacht, aber warum willst du da ein \ hinschreiben?
(Übrigens \setminus in Latex)

Und jetzt mal langsam, wie kommst du auf die Gleichung. Wenn wir D einsetzen kommen wir ersteinmal auf
$\begin{eqnarray*} |A| + |B\cup C| - |A\cap (B\cup C)| = |A| + |B| + |C| - |B\cap C| - |A\cap (B\cup C)| \end{eqnarray*}$
Forme jetzt den hinteren Term noch um und benutze dieselbe Umformung noch ein letztes mal Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.10.2009, 15:36

estrella28

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wie soll ich sonst von links nach rechts kommen?

--------
ist $\begin{eqnarray*} (A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A\cap C) \end{eqnarray*}$ ?

Dann kommt bei mir aber für den term, den du zum schluss addierst:

$\begin{eqnarray*} ( (A \cap B) \cap (A \cap C) ) \end{eqnarray*}$

31.10.2009, 15:44

kiste

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Passt schon, war verwirrt dadurch das es nicht in Symbolen vor mir stand Big Laugh

Big Laugh

Back to topic...

edit:
Vermeide doch Doppelposts, werde ich gleich zusammenfügen.

Aber ja das ist so.
Und offensichtlich ist doch $\begin{eqnarray*} A\cap B\cap A\cap C = A \cap B \cap C \end{eqnarray*}$ , oder etwas nicht? Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.10.2009, 15:48

estrella28

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Warum? Ich komme mir ein bisschen blöd gerade vor...

31.10.2009, 15:52

kiste

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Intuitiv weil 2mal nur Elemente aus A dasselbe ist wie nur einmal Elemente aus A.

Formal kannst es eben direkt sehen wenn du die Definition des Schnitts ausschreibst.

Oder meintest du warum $\begin{eqnarray*} A\cap (B\cup C)= (A\cap B) \cup (A\cap C) \end{eqnarray*}$ ist? Das ist im Prinzip das Distributätsgesetz der Aussagenlogik auf Mengen umgeschrieben(Benutzt man die Definition von Vereinigung/Schnitt sieht man das)

Allgemein: Bitte schreib doch mehr als nur 1-2 Sätze.

31.10.2009, 15:58

estrella28

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Nein, ich meinte warum

$\begin{eqnarray*} (A \cap B) \cap (A \cap C) = A \cap B \cap C \end{eqnarray*}$ ist.

Außerdem wollte ich fragen, ob es besser ist bei so einem Beweis, eher =, oder

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ , oder den Äquivalenzpfeil zu nehmen?

Übrigend danke für die Hilfe ! smile

smile

31.10.2009, 16:02

kiste

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Naja die Regel ist doch einfach:
Hier sind Mengen keine Aussagen, also benutzt man = und nicht => oder ähnliches.

31.10.2009, 16:05

estrella28

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ok danke :-)

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